《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

8.(2024河北邯郸模拟,9,★★☆)如图,∠AOB = 90°,OC平分∠AOB,PE⊥OA于点E,PF⊥OC于点F,PG⊥OB于点G,则$\frac{OE + OG}{OF}$的值是(M8202005) ( )

A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案：
C 如图，过点G作GM⊥OC于点M，过点P作PN⊥MG于点N，
∵ ∠AOB = 90°，PE⊥OA，PG⊥OB，
∴ ∠PEO = ∠AOB = ∠PGO = 90°，
∴ 四边形OEPG为矩形，
∴ OE = PG，
∵ PN⊥MG，PF⊥OC，MG⊥OC，
∴ ∠PNM = ∠PFM = ∠NMF = 90°，
∴ 四边形FMNP为矩形，
∴ PN = MF，
∵ ∠AOB = 90°，OC平分∠AOB，
∴ ∠MOG = 45°，
∴ OG=$\sqrt{2}OM$，同理PG=$\sqrt{2}PN$，
∴ OE=$\sqrt{2}MF$，
∴ $\frac{OE + OG}{OF}=\frac{\sqrt{2}MF+\sqrt{2}OM}{OF}=\frac{\sqrt{2}OF}{OF}=\sqrt{2}$。

9.方程思想 (2024重庆沙坪坝模拟,16,★★☆)如图,在矩形ABCD中,点E在AD边上,点F在BC边上,且BF = DE,连接EF交对角线BD于点O,BD = 5,CD = 3,连接CE,若CE = CF,则EF长为________.

答案：
答案 $\frac{15}{4}$
解析 过点E作EH⊥BC于点H，如图所示，
∵ 四边形ABCD为矩形，BD = 5，CD = 3，∠CDE = ∠BCD = 90°，
∴ 四边形CDEH为矩形，BC=$\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}$= 4，
∴ EH = CD = 3，ED = HC，设CE = CF = x，则BF = DE = 4 - x，
∵ $CD^{2}+DE^{2}=CE^{2}$，
∴ $3^{2}+(4 - x)^{2}=x^{2}$，解得x =$\frac{25}{8}$，
∴ ED = HC = 4-$\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$，
∴ FH = CF - HC =$\frac{9}{4}$，
∴ EF=$\sqrt{EH^{2}+FH^{2}}=\sqrt{3^{2}+(\frac{9}{4})^{2}}=\frac{15}{4}$。

10.推理能力 长与宽之比为$\sqrt{2}$:1的矩形纸片被称为标准纸,请思考并解答下列问题:
(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开,如图所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸,请给予证明.

(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB＜BC)进行如下操作:
第一步:沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图1);
第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上的点N处,折痕为DG(如图2),此时E点恰好落在AE边上的点M处;
第三步:沿直线DM折叠(如图3),此时G点恰好与点N重合.
请你探究:矩形纸片ABCD是不是标准纸?并说明理由.

(3)不难发现,将一张标准纸按如图所示的方式一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB = 1,BC = $\sqrt{2}$,问:第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索并直接写出第2 020次对开后所得标准纸的周长.

答案：
解析 \n（1）证明：
∵ 矩形纸片ABCD是标准纸，且AB ＜ BC，
∴ $\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$. 由对开的含义知AF=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
∴ $\frac{AB}{AF}=\frac{AB}{\frac{1}{2}BC}=2\cdot\frac{AB}{BC}=2×\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
∴ 矩形纸片ABEF是标准纸。\n（2）矩形纸片ABCD是标准纸. 理由如下：
设AB = CD = a，a ＞ 0.
由题图1折叠可知△ABE≌△AFE，
∴ ∠BAE = ∠FAE，
∴ ∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD = 45°.
由题图2折叠可知DG⊥EM，
∴ ∠AGD = 90°，
∴ △ADG是等腰直角三角形，
∴ AG = DG，
由题图3折叠可知CD = DG = DN = a，
∴ AG = a，
∴ 在Rt△ADG中，AD=$\sqrt{AG^{2}+DG^{2}}=\sqrt{2}a$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，
∴ 矩形纸片ABCD是标准纸。\n（3）

∴ 第5次对开后所得标准纸的周长为$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
第2 020次对开后所得的标准纸的周长为$\frac{1+\sqrt{2}}{2^{1 009}}$。