《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

9.(2024湖南郴州模拟)如图,由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是 ( )

A.$\frac{2}{5}\sqrt{10}$
B.$\sqrt{2}$
C.2$\sqrt{2}$
D.$\frac{3}{5}\sqrt{10}$

答案： A 由题图可知，AB = √(1² + 1²) = √2，AC = √(2² + 2²) = 2√2，BC = √(3² + 1²) = √10，
∵(√2)² + (2√2)² = (√10)²，
∴AB² + AC² = BC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC = 90°，
∴S△ABC = 1/2AB·AC = 2，
∴△ABC中BC边上的高 = (2×2)/√10 = 2/5√10. 故选A.

10.[跨物理·光的折射]图1为光学直角棱镜,其截面为直角三角形ABC(如图2),AB所在的面为不透光的磨砂面,∠ACB = 90°,∠A = 30°,BC=8 cm.现将一束单色光从AC边上的O点射入,折射后到达AB边上的D点,恰有CD⊥AB,再经过反射后(即∠CDE = ∠ODC),从BC边上的E点垂直于BC射出,则光线在棱镜内部经过的路径OD+DE的总长度为 ( )

A.12 cm
B.6$\sqrt{3}$ cm
C.(4$\sqrt{3}$+4)cm
D.$\frac{21}{2}$ cm

答案： B

∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴∠B = 60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB = ∠CDA = 90°，
∴∠DCB = 30°，
∴∠DCA = 60°，在Rt△BCD中，BD = 1/2BC = 4 cm，
∴CD = 4√3 cm，
∵DE⊥BC，
∴DE = (CD·BD)/BC = 2√3 cm，
∵AC⊥BC，DE⊥BC，
∴AC//DE，
∴∠DCA = ∠CDE，
∵∠CDE = ∠ODC，
∴∠ODC = ∠DCA = 60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD = CD = 4√3 cm，
∴OD + DE = 4√3 + 2√3 = 6√3(cm)，故选B.

11.(2024湖南岳阳期中)三角形的三边长分别为6、8、10,那么最长边上的高为________.

答案： 答案 4.8
解析

∵6² + 8² = 10²，
∴该三角形为直角三角形. 设斜边上的高为h，
∵三角形的面积 = 1/2×6×8 = 1/2×10h，
∴h = 4.8.

12.(2023湖南邵阳北塔期中)如图,在△ABC中,∠BAC = 90°,AD⊥BC于点D,若∠C = 30°,BD=1,则CD的长为________.

答案： 答案 3
解析

∵AD⊥BC于点D，∠C = 30°，
∴∠DAC = 60°，
∵∠BAC = 90°，
∴∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 30°，
∴在Rt△ABD中，AB = 2BD = 2，
∵在Rt△ABC中，∠C = 30°，
∴BC = 2AB = 4，
∴CD = BC - BD = 4 - 1 = 3.

13.(2024贵州铜仁模拟)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,则根据“HL”判定定理,还需要添加的条件是________.

答案： 答案 AB = AC
解析 还需添加条件AB = AC.
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，
{AB = AC,
{AD = AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).

14.(2024广西玉林期中)如图,一艘小船以15海里/时的速度从港口A出发,向东北方向航行,另一艘小船以8海里/时的速度同时从港口A出发,向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距________海里.

答案： 答案 34
解析 设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接BC，如图所示，
∵两船行驶的方向分别是东北方向和东南方向，
∴∠BAC = 45° + 45° = 90°，
两小时后，两艘船分别航行的路程为AB = 15×2 = 30(海里)，
AC = 8×2 = 16(海里)，
根据勾股定理得BC = √(30² + 16²) = 34(海里)，即离开港口2小时后，两船相距34海里.

15.图2是由八个图1这样形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成的,记正方形ABCD的面积为$S_{1}$,正方形EFGH的面积为$S_{2}$,正方形MNPQ的面积为$S_{3}$,若$S_{1}+S_{2}+S_{3}=15$,则$S_{2}$的值是________.

答案： 答案 5
解析 由题意可知，S₁ = S₂ + 4S△AEH，S₃ = S₂ - 4S△AEH，
∵S₁ + S₂ + S₃ = 15，
∴S₂ + 4S△AEH + S₂ + S₂ - 4S△AEH = 15，
∴S₂ = 5.

16.[新考法](2022湖北荆州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,通过尺规作图得到的直线MN分别交AB,AC于点D,E,连接CD.若CE = $\frac{1}{3}$AE=1,则CD = ________.

答案： 答案 √6
解析 本题结合尺规作图，利用线段垂直平分线的性质来考查勾股定理和直角三角形斜边上中线的性质. 如图，
连接BE，
∵CE = 1/3AE = 1，
∴AE = 3，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，
∴BE = AE = 3，
∴在Rt△ECB中，BC = √(BE² - CE²) = 2√2，
∵AC = AE + CE = 4，
∴AB = √(AC² + BC²) = 2√6.
易知CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD = 1/2AB = √6.