《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

7.(2024广西贵港港北期中,24,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AB//DC,AB = AD,对角线AC、BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若CE = 2√3,∠ADC = 120°,求四边形ABCD的面积.

答案： 解析：
(1) 证明：$\because AB// DC$，$\therefore\angle ACD=\angle BAC$，$\because AC$ 平分 $\angle BAD$，$\therefore\angle BAC=\angle DAC$，$\therefore\angle ACD=\angle CAD$，$\therefore AD = CD$，$\because AB = AD$，$\therefore AB = CD$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\because AB = AD$，$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形。
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle ADC = 120^{\circ}$，$\therefore\angle ABC=\angle ADC = 120^{\circ}$，$\angle CBE = 60^{\circ}$，$\therefore\angle BCE = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，$\therefore BC = 2BE$，在 $Rt\triangle BCE$ 中，$BC^{2}=(\frac{1}{2}BC)^{2}+CE^{2}$，$CE = 2\sqrt{3}$，$\therefore BC = AB = 4$，$\therefore S_{菱形 ABCD}=AB\cdot CE = 8\sqrt{3}$。

8.(2023黑龙江哈尔滨期末,24,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,AO = CO,∠BCA = ∠CAD.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)E、F、G分别是BO、CO、AD的中点,连接EF、GF、AE、EG,EG和AC相交于点H,当BD和AB满足什么数量关系时,才能使四边形AEFG为菱形?并说明理由.

答案：
解析：
(1) 证明：$\because\angle BCA=\angle CAD$，$\therefore AD// BC$，在 $\triangle AOD$ 与 $\triangle COB$ 中，$\begin{cases}\angle DAO=\angle BCO\\AO = CO\\\angle AOD=\angle COB\end{cases}$，$\therefore\triangle AOD\cong\triangle COB(ASA)$，$\therefore AD = BC$，$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
(2) 当 $BD = 2AB$ 时，四边形 $AEFG$ 为菱形。
理由：$\because E$、$F$、$G$ 分别是 $BO$、$CO$、$AD$ 的中点，$\therefore EF=\frac{1}{2}BC$，$AG=\frac{1}{2}AD$，$EF// BC$，$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$BD = 2AB$，$\therefore BC = AD$，$BC// AD$，$AB = CD=\frac{1}{2}BD$，$OD=\frac{1}{2}BD$，$\therefore EF// AG$，$EF = AG$，$CD = OD$，$\therefore$ 四边形 $AEFG$ 为平行四边形，$\therefore AH = FH$，如图，连接 $DF$，$\because F$ 是 $CO$ 的中点，$\therefore DF\perp OC$，$\because G$ 是 $AD$ 的中点，$AH = FH$，$\therefore HG$ 是 $\triangle AFD$ 的中位线，$\therefore HG// DF$，$\therefore EG\perp AF$，$\therefore$ 四边形 $AEFG$ 为菱形。

9.几何直观 如图,已知△ABC和△DEF都是边长为10 cm的等边三角形,且点B、D、C、E在同一直线上,连接AD、CF.若BD = 3 cm,△ABC沿着BE以1 cm/s的速度向右运动,设△ABC的运动时间为t s.
(1)当t为何值时,四边形ADFC是菱形?
(2)当t为何值时,四边形ADFC是矩形?并求其面积.
(3)当t为何值时,四边形ADFC的面积是100√3 cm²?

答案： 解析：
(1) $\because\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 都是边长为 $10\ cm$ 的等边三角形，$\therefore AC = DF$，$\angle ACD=\angle FDE = 60^{\circ}$，$\therefore AC// DF$，$\therefore$ 四边形 $ADFC$ 是平行四边形，当点 $B$ 与点 $D$ 重合，即 $t = 3$ 时，此时 $AD = DF$，$\therefore$ 平行四边形 $ADFC$ 是菱形。
(2) 由
(1) 知四边形 $ADFC$ 为平行四边形，当点 $B$ 与点 $E$ 重合，即 $t = 13$ 时，此时 $A$、$E$、$F$ 在同一条直线上，$\therefore AF = CD$，$\therefore$ 平行四边形 $ADFC$ 是矩形，$\therefore\angle CFD = 90^{\circ}$，$\therefore CF=\sqrt{CD^{2}-DF^{2}} = 10\sqrt{3}\ cm$，$\therefore S_{矩形 ADFC}=10\times10\sqrt{3}=100\sqrt{3}(cm^{2})$。
(3) ① $B$、$D$ 重合前，即 $0\lt t\lt3$ 时，$CD=(7 + t)cm$，$\therefore(7 + t)\times5\sqrt{3}=100\sqrt{3}$，解得 $t = 13$（不符合题意，舍去）；② $B$、$D$ 重合时，$t = 3$，$\therefore 10\times5\sqrt{3}=50\sqrt{3}$（不符合题意，舍去）；③ $B$、$D$ 重合后，即 $t\gt3$ 时，$(t + 7)\times5\sqrt{3}=100\sqrt{3}$，解得 $t = 13$. 综上所述，当 $t = 13$ 时，四边形 $ADFC$ 的面积是 $100\sqrt{3}\ cm^{2}$。