《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

9.(2024湖南怀化模拟,9,★★☆)如图,在四边形ABCD中,∠B = 90°,BC = 3,连接AC,AC⊥CD,垂足为C,并且∠ACB = ∠D,点E是AD边上一动点,则CE的最小值是 ( )

A.1.5
B.3
C.3.5
D.4

答案：
B 过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，当点E运动到点H时，CE最短.
∵AC⊥DC，
∴∠ACD = 90°，
∴∠D + ∠CAD = 90°，
∵∠B = 90°，
∴∠ACB + ∠BAC = 90°，
∵∠ACB = ∠D，
∴∠BAC = ∠CAD，
∴AC是∠BAD的平分线，
∵BC⊥BA，CH⊥AD，
∴CH = BC = 3，
∴CE的最小值为3，故选B.

10.方程思想(2023贵州铜仁石阡期中,22,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB、∠ABC的平分线l₁、l₂相交于点O.(M8201005)
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上.
(2)连接OA,若AB = AC = 5,OB = 4,OA = 2,求点O到BC边的距离.

答案：
解析 （1）证明：如图1，过点O作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC，垂足分别为点D、E、F.
∵∠ACB、∠ABC的平分线$l_1$、$l_2$相交于点O，
∴OD = OF，OE = OF，
∴OD = OE，
∴点O在∠BAC的平分线上.
（2）如图2，连接AO并延长交BC于点F，
∵AB = AC，AF平分∠BAC，
∴AF⊥BC，
设OF = x，则AF = OF + OA = x + 2，
在Rt△ABF中，$BF^2 = AB^2 - AF^2$，即$BF^2 = 25 - (x + 2)^2$，
在Rt△OBF中，$BF^2 = OB^2 - OF^2$，即$BF^2 = 16 - x^2$，
∴$25 - (x + 2)^2 = 16 - x^2$，解得$x = \frac{5}{4}$，
∴$OF = \frac{5}{4}$，即点O到BC边的距离是$\frac{5}{4}$.

11.推理能力(2024湖南娄底月考)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB = 90°,CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线分别交BC,CD于点E,F.
(1)试说明△CEF是等腰三角形.
(2)若点E恰好在线段AB的垂直平分线上,猜想线段AC与线段AB的数量关系,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若CE = 2,AC = 2√3,求△ABE的面积.

答案：
解析 （1）
∵∠ACB = 90°，
∴∠CEF = 90° - ∠CAE，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA = 90°，
∴∠AFD = 90° - ∠EAD，
∵AE是∠BAC的平分线，∠AFD与∠CFE是对顶角，
∴∠CAE = ∠EAD，∠AFD = ∠CFE，
∴∠CEF = ∠AFD = ∠CFE，
∴CE = CF，
∴△CEF是等腰三角形.
（2）2AC = AB. 理由：如图，过点E作EH⊥AB于点H，由题意可知EH垂直平分AB，
∴AE = BE，∠EAB = ∠B，
由（1）可知∠CAE = ∠EAB，
∴在Rt△ACB中，3∠B = 90°，
∴∠B = 30°，
∴2AC = AB.
（3）由（2）得Rt△ACB中，∠B = 30°，2AC = AB，
∵CE = 2，AC = $2\sqrt{3}$，
∴AB = 2AC = $4\sqrt{3}$，
∴CB = $\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}=6$，
∴EB = CB - CE = 6 - 2 = 4，
∴$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}EB\cdot AC=\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.

例 如图,在四边形ABCD中,∠BCD = 90°,BD平分∠ABC,AB = 6,BC = 9,CD = 4,则四边形ABCD的面积是 ( )


A.24
B.30
C.36
D.42

答案：
B 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图，
∵BD平分∠ABC，∠BCD = 90°，
∴DH = CD = 4，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}AB\cdot DH+\frac{1}{2}BC\cdot CD=\frac{1}{2}\times6\times4+\frac{1}{2}\times9\times4 = 30$，故选B.

1.改变条件和结论 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积为15,AB = 6,DE = 3,则AC的长是________.

答案：
答案 4
解析 如图，过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF = DE = 3，
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF=\frac{1}{2}\times6\times3+\frac{1}{2}AC\times3 = 15$，
∴AC = 4.

2.改变条件,不知底边长(2024湖南岳阳期末)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,若∠ABC = 60°,∠C = 45°,DE = 3,则△ABD的面积为________.

答案：
答案 9
解析 如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，DE = 3，∠ABC = 60°，
∴DF = DE = 3，
∠ABD = ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，
∵在Rt△BDE中，∠DBC = 30°，DE = 3，
∴BD = 2DE = 2×3 = 6，
在△ABC中，∠ABC = 60°，∠C = 45°，
∴∠A = 180° - 60° - 45° = 75°，
∴∠BDA = 180° - 30° - 75° = 75°，
∴∠A = ∠BDA，
∴BA = BD = 6，
∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DF=\frac{1}{2}\times6\times3 = 9$.