《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

6. 如图，在长方形 ABCD 中，AB = 8，BC = 6，P 为 AD 上一点，将△ABP 沿 BP 翻折得到△EBP，PE 与 CD 相交于点 O，且 OE = OD，BE 与 CD 相交于点 F.
（1）求证：OP = OF.
（2）求 AP 的长.

答案： 解析
(1) **证明**：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形，
$\therefore\angle D=\angle A=\angle C = 90^{\circ}$，
由翻折可知 $EP = AP$，$\angle E=\angle A = 90^{\circ}$，
在 $\triangle ODP$ 和 $\triangle OEF$ 中，$\begin{cases}\angle D=\angle E\\OD = OE\\\angle DOP=\angle EOF\end{cases}$，
$\therefore\triangle ODP\cong\triangle OEF(ASA)$，$\therefore OP = OF$。
(2) 由
(1) 得 $\triangle ODP\cong\triangle OEF$，
$\therefore OP = OF$，$PD = FE$，
$\therefore OD + OF = OE + OP$，$\therefore DF = EP$。
设 $AP = EP = DF = x$，则 $EF = PD = 6 - x$，$CF = CD - DF = AB - DF = 8 - x$，
$\therefore BF = BE - EF = AB - EF = 8-(6 - x)=2 + x$，
在 $Rt\triangle FCB$ 中，根据勾股定理得 $BC^{2}+CF^{2}=BF^{2}$，
$\therefore 6^{2}+(8 - x)^{2}=(2 + x)^{2}$，解得 $x = 4.8$，$\therefore AP = 4.8$。

7.（2024 湖南娄底二中期中）如图，台风中心沿直线 AB 从 A 向 B 移动，已知点 C 为一海港，且点 C 与点 A，B 之间的距离分别为 AC = 60 km，BC = 80 km，已知 AB = 100 km，经测量，距离台风中心 50 km 及以内的地区会受到影响.
（1）海港会受到台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为 4 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？

答案：
解析
(1) 会受到台风影响，理由：由题可知，$AC = 60\ km$，$BC = 80\ km$，$AB = 100\ km$，
$\because 60^{2}+80^{2}=100^{2}$，$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
$\therefore\triangle ABC$ 为直角三角形，且 $\angle ACB = 90^{\circ}$。
过点 $C$ 作 $CD\perp AB$ 于点 $D$，如图 1，
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，
$\therefore AC\cdot BC = AB\cdot CD$，即 $60×80 = 100CD$，
$\therefore CD = 48\ km＜50\ km$。
答：海港 $C$ 会受到台风影响。

(2) 如图 2，在直线 $AB$ 上取点 $E$ 和 $F$，使 $CE = CF = 50\ km$，
$\therefore$ 当台风中心位于线段 $EF$ 上时，海港 $C$ 都会受到台风影响。
在 $Rt\triangle CDE$ 中，$DE=\sqrt{CE^{2}-CD^{2}} = 14\ km$，
在 $Rt\triangle CDF$ 中，$DF=\sqrt{CF^{2}-CD^{2}} = 14\ km$，
$\therefore EF = DE + DF = 28\ km$，$28\div4 = 7(h)$。
答：台风影响该海港持续的时间为 $7\ h$。

8. 如图所示，在△ABC 中，已知∠C = 90°，AC = 8，BC = 6，P，Q 是△ABC 边上的两个动点，点 P 从点 A 开始沿线段 AC 向点 C 运动，且速度为每秒 1 个单位长度，点 Q 从点 C 开始沿线段 BC 向点 B 运动，且速度为每秒 2 个单位长度，它们同时出发，设运动的时间为 t 秒.
（1）出发 2 秒后，求线段 PQ 的长.
（2）t 为何值时，△APB 是等腰三角形？
（3）若点 Q 运动到点 B 后，沿线段 AB 向点 A 运动，t 为何值时，△CBQ 是等腰三角形？

答案：
解析
(1) 当 $t = 2$ 时，$CQ = 2×2 = 4$，$CP = 8 - 1×2 = 6$，
在 $Rt\triangle PCQ$ 中，$PQ=\sqrt{CQ^{2}+CP^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}} = 2\sqrt{13}$。
(2) 如图 1，当 $\triangle APB$ 是等腰三角形时，由图可知只有 1 种情况，此时 $BP = AP = t$，
则 $CP = 8 - t$。在 $Rt\triangle CPB$ 中，由勾股定理得 $6^{2}+(8 - t)^{2}=t^{2}$，$\therefore t=\frac{25}{4}$。
故当 $t=\frac{25}{4}$ 时，$\triangle APB$ 是等腰三角形。

(3) 点 $Q$ 在边 $BA$ 上运动时，$\triangle CBQ$ 为等腰三角形的情况有三种：
①如图 2，若 $CQ = BQ$，则 $\angle B=\angle BCQ$。$\because\angle B+\angle A=\angle BCQ+\angle ACQ = 90^{\circ}$，$\therefore\angle A=\angle ACQ$，$\therefore CQ = AQ$，
$\therefore BQ = AQ$。在 $Rt\triangle BCA$ 中，$BA=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，$\therefore BQ = 5$，$\therefore 2t - 6 = 5$，$\therefore t=\frac{11}{2}$。

②如图 3，若 $BQ = BC$，则 $2t - 6 = 6$，$\therefore t = 6$。
③如图 4，若 $CQ = CB$，过点 $C$ 作 $CE\perp AB$ 于点 $E$，则 $BE = EQ$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CE$。
$\because AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，
$\therefore\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10CE$，$\therefore CE=\frac{24}{5}$，
在 $Rt\triangle BCE$ 中，$BE=\sqrt{BC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{6^{2}-(\frac{24}{5})^{2}}=\frac{18}{5}$，
$\therefore BQ=\frac{36}{5}$，$\therefore 2t - 6=\frac{36}{5}$，$\therefore t=\frac{33}{5}$。
综上可知，当 $t$ 的值为 $\frac{11}{2}$ 或 $6$ 或 $\frac{33}{5}$ 时，$\triangle CBQ$ 为等腰三角形。