《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

12.(2024湖南益阳模拟,24,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AD//CB,AC与BD交于点E,E为BD的中点,延长CD到点F,使DF = CD,连接AF.
(1)求证:AE = CE.
(2)求证:四边形ABDF为平行四边形.
(3)若CD = 1,AF = 2,∠BEC = 2∠F,求四边形ABDF的面积.

答案： 解析：
（1）证明：
∵ AD//CB，
∴ ∠DAC = ∠BCA，
∵ E为BD的中点，
∴ DE = BE，在△ADE和△CBE中，$\begin{cases}\angle DAC=\angle BCA\\\angle AED=\angle CEB\\DE = BE\end{cases}$，
∴ △ADE≌△CBE（AAS），
∴ AE = CE。
（2）证明：由（1）得AE = CE，BE = DE，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD，
∵ DF = CD，
∴ AB = DF，
∵ AB//DF，
∴ 四边形ABDF为平行四边形。
（3）
∵ 四边形ABDF为平行四边形，
∴ ∠F = ∠DBA，BD = AF = 2，AB = DF，
∵ ∠BEC = 2∠F，∠BEC = ∠DBA+∠BAC，
∴ ∠DBA = ∠BAC，
∴ AE = BE = DE，
∴ ∠BAD = 90°，
∵ AB = DF = CD = 1，
∴ AD = $\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}$ = $\sqrt{3}$，
∴ 四边形ABDF的面积 = AB·AD = $\sqrt{3}$。

13.跨物理·合速度 创新意识 在物理学中,速度具有大小和方向.如图1,点O受到两个速度v1,v2的影响,其大小和方向分别用有向线段OA,OB表示,以线段OA,OB为邻边作平行四边形,则对角线OC的大小和方向表示合速度(即实际速度)v的大小和方向,这种方法称为平行四边形法则.下面利用平行四边形法则解决实际问题.
(1)已知小河的水流速度为3 km/h,小船在静水中的航行速度也为3 km/h.如图2,当小船朝着垂直于河岸的方向航行时,根据平行四边形法则可知,小船的实际速度方向为北偏东________,大小为________km/h.
(2)已知小河的水流速度仍为3 km/h.如图3,若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸方向,大小为3√3 km/h,则小船应该朝哪个方向航行?速度大小为多少?

答案：
解析：
（1）如图1，根据题意构造平行四边形，则DE = 3 km/h，EF = 3 km/h，∠DEF = 90°，
∴ ∠FDE = ∠EFD = 45°，根据勾股定理，得DF = $\sqrt{3^{2}+3^{2}}$ = 3$\sqrt{2}$（km/h），
∴ 小船的实际速度方向为北偏东45°，大小为3$\sqrt{2}$ km/h。
（2）如图2，根据题意构造平行四边形，则GM = 3 km/h，GN = 3$\sqrt{3}$ km/h，∠NGM = 90°，根据勾股定理，得MN = $\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}}$ = 6（km/h），
∴ ∠GNM = 30°，
∵ 四边形GMNH是平行四边形，
∴ GH//MN，GH = MN = 6 km/h，
∴ ∠NGH = ∠GNM = 30°，
∴ 小船应朝北偏西30°方向航行，速度大小为6 km/h。