《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

9.已知一次函数$y = kx + b$的图象经过点$A(-1,-1)$和点$B(1,-3)$.(M8204004)
(1)求一次函数的表达式.
(2)请在$x$轴上找到一点$P$,使得$PA + PB$的值最小,并求出$P$的坐标.

答案：
解析
(1)把(-1,-1)，(1,-3)代入 y = kx + b，得$\begin{cases}-k + b = -1 \\ k + b = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = -2\end{cases}$，
∴一次函数的表达式为 y = -x - 2.
(2)如图，作点 A 关于 x 轴对称的点 A_{1}，连接 A_{1}B 交 x 轴于点 P，则点 P 即为所求，由对称知 A_{1}的坐标为(-1,1)，设直线 A_{1}B 的解析式为 y_{1} = ax + c(a ≠ 0)，将(-1,1)，(1,-3)代入，得$\begin{cases}-a + c = 1 \\ a + c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -2 \\ c = -1\end{cases}$，
∴y_{1} = -2x - 1，令 y_{1} = 0，得 -2x - 1 = 0，解得 x = - $\frac{1}{2}$，
∴P(-$\frac{1}{2}$,0).

10.(2024贵州黔南州一模,10,★★☆)直线$y = 2x + 1$如图所示,过点$P(2,1)$作与它平行的直线$y = kx + b$,则$k,b$的值分别是(M8204004) ( )

A.$k = 2,b = 3$
B.$k = 2,b = -3$
C.$k = 2,b = -1$
D.$k = -2,b = -3$

答案： B

∵直线 y = kx + b 与直线 y = 2x + 1 平行，
∴k = 2，
∵点 P(2,1)在直线 y = kx + b 上，
∴2k + b = 1，
∴b = -2k + 1 = -2×2 + 1 = -3.故选 B.

11.跨生物·蛇的体长与尾长(2024山西中考,9,★★☆)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长$y$(cm)是尾长$x$(cm)的一次函数,部分数据如下表所示,则$y$与$x$之间的关系式为(M8204004) ( )


A.$y = 7.5x + 0.5$
B.$y = 7.5x - 0.5$
C.$y = 15x$
D.$y = 15x + 45.5$

答案： A 由题意可得，设 y = kx + b(k ≠ 0)，把 x = 6，y = 45.5；x = 8，y = 60.5 代入得$\begin{cases}6k + b = 45.5 \\ 8k + b = 60.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 7.5 \\ b = 0.5\end{cases}$，
∴y 与 x 之间的关系式为 y = 7.5x + 0.5.故选 A.

12.(2022贵州铜仁中考,17,★★☆)在平面直角坐标系内有三点$A(-1,4)$、$B(-3,2)$、$C(0,6)$.(M8204004)
(1)求过其中两点的直线的函数表达式(选一种情形作答).
(2)判断$A、B、C$三点是否在同一直线上,并说明理由.

答案： 解析
(1)(答案不唯一)设 A(-1,4)、B(-3,2)两点所在的直线解析式为 y = kx + b(k ≠ 0)，
∴$\begin{cases}-k + b = 4 \\ -3k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\ b = 5\end{cases}$，
∴直线 AB 的函数表达式为 y = x + 5.
(2)由
(1)得，直线 AB 的表达式为 y = x + 5，
∴当 x = 0 时，y = 0 + 5 ≠ 6，
∴点 C(0,6)不在直线 AB 上，即 A、B、C 三点不在同一条直线上.

13.(2023浙江温州中考,20,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,m)$在直线$y = 2x - \frac{5}{2}$上,过点$A$的直线交$y$轴于点$B(0,3)$.(M8204004)
(1)求$m$的值和直线$AB$的函数表达式.
(2)若点$P(t,y_1)$在线段$AB$上,点$Q(t - 1,y_2)$在直线$y = 2x - \frac{5}{2}$上,求$y_1 - y_2$的最大值.

答案： 解析
(1)把(2,m)代入 y = 2x - $\frac{5}{2}$中，得 m = $\frac{3}{2}$.设直线 AB 的函数表达式为 y = kx + b(k ≠ 0)，把(2,$\frac{3}{2}$)，(0,3)代入得$\begin{cases}2k + b = \frac{3}{2} \\ b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - \frac{3}{4} \\ b = 3\end{cases}$，
∴直线 AB 的函数表达式为 y = - $\frac{3}{4}$x + 3.
(2)
∵点 P(t,y_{1})在线段 AB 上，
∴y_{1} = - $\frac{3}{4}$t + 3(0 ≤ t ≤ 2)，
∵点 Q(t - 1,y_{2})在直线 y = 2x - $\frac{5}{2}$上，
∴y_{2} = 2(t - 1) - $\frac{5}{2}$ = 2t - $\frac{9}{2}$，
∴y_{1} - y_{2} = - $\frac{3}{4}$t + 3 - (2t - $\frac{9}{2}$) = - $\frac{11}{4}$t + $\frac{15}{2}$，
∵ - $\frac{11}{4}$ ＜ 0，
∴(y_{1} - y_{2})随 t 的增大而减小，
∴当 t = 0 时，y_{1} - y_{2}的值最大，为$\frac{15}{2}$.