《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

8.几何直观 如图所示的是一张矩形纸片ABCD，按照下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片沿AM折叠，使得点D的对应点N落在AB上，连接MN，然后把纸片展开.
第二步：如图②，将四边形ADMN沿PQ对折，使AD与NM重合.将纸片展开，得到折痕PQ，然后连接NQ.
第三步：如图③，折叠纸片使得NQ落在DC上，折痕为EQ，点N的对应点为F.
(1)求证：四边形ADMN是正方形.
(2)求图③中四边形NQFE的面积与四边形ADMN的面积的比值.

答案： 解析
（1）**证明**：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $\angle DAN=\angle D = 90^{\circ}$，
由折叠的性质可得 $\angle ANM=\angle D = 90^{\circ}$，$AD = AN$，
∴ 四边形 $ADMN$ 是正方形.
（2）
∵ 四边形 $ADMN$ 为正方形，
∴ 可设 $AD = DM = MN = 2a$，
∵ 将正方形 $ADMN$ 对折后，$AD$ 与 $MN$ 重合，
∴ $DQ = QM = a$，
在 $Rt\triangle NQM$ 中，由勾股定理得 $NQ=\sqrt{QM^{2}+NM^{2}}=\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}=\sqrt{5}a$，
由折叠的性质可得 $QF = NQ=\sqrt{5}a$，
易得四边形 $NQFE$ 为菱形，
∵ 四边形 $NQFE$ 与四边形 $ADMN$ 的高都为 $2a$，
∴ $S_{四边形NQFE}:S_{四边形ADMN}=QF:DM=\sqrt{5}a:2a=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

例 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则下列选项中正确的是 （ ）


A.若AC = BD，则四边形EFGH为矩形
B.若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C.若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分
D.若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等

答案： D
∵ 点 $E$、$F$、$G$、$H$ 分别是四边形 $ABCD$ 的边 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 的中点，
∴ $EF$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，$HG$ 是 $\triangle ACD$ 的中位线，$EH$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线，$FG$ 是 $\triangle BCD$ 的中位线，
∴ $HG = EF=\frac{1}{2}AC$，$HG// EF// AC$，$EH = FG=\frac{1}{2}BD$，$EH// FG// BD$，
∴ 四边形 $EFGH$ 为平行四边形.
A. 若 $AC = BD$，则 $HG = EH$，
∴ 四边形 $EFGH$ 为菱形，故 A 选项错误；
B. 若 $AC\perp BD$，则 $EF\perp EH$，
∴ 四边形 $EFGH$ 为矩形，故 B 选项错误；
C. 任意四边形的中点四边形都是平行四边形，$AC$ 与 $BD$ 不一定互相平分，故 C 选项错误；
D. 若四边形 $EFGH$ 是正方形，则 $EF\perp EH$，$EF = EH$，由 $EF$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，$EH$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线，得 $EF// AC$，$EH// BD$，$EF=\frac{1}{2}AC$，$EH=\frac{1}{2}BD$，
∴ $AC$ 与 $BD$ 互相垂直且相等，故 D 选项正确. 故选 D.

1.条件变结论 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，四边形ABCD满足________时，四边形EGFH是矩形.

答案： 答案 $AB\perp CD$
解析
∵ $E$、$F$ 分别是 $AD$、$BC$ 的中点，$G$、$H$ 分别是 $BD$、$AC$ 的中点，
∴ $EG// AB$，$HF// AB$，$EH// CD$，$GF// CD$，$EG=\frac{1}{2}AB$，$HF=\frac{1}{2}AB$，$EH=\frac{1}{2}CD$，$GF=\frac{1}{2}CD$，
∴ $EG// HF$，$EH// GF$，
∴ 四边形 $EGFH$ 是平行四边形.
∵ $AB\perp CD$，$EG// AB$，$EH// CD$，
∴ $EG\perp EH$，
∴ $\angle GEH = 90^{\circ}$，
∴ 四边形 $EGFH$ 是矩形.

2.改变图形 (2024福建中考)如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为________.

答案：
答案 2
解析 如图，连接 $HF$、$EG$，
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，且面积为 4，
∴ $BC// AD$，$BC = AD$，$AB = BC = 2$，
∵ $H$，$F$ 分别为边 $DA$，$BC$ 的中点，
∴ $HA=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$，
∴ $HA = BF$，
∴ 四边形 $BFHA$ 是平行四边形，
∴ $AB = HF = 2$，$AB// HF$.
同理，$BC = EG = 2$，$BC// EG$，
∵ $AB\perp BC$，
∴ $HF\perp EG$，
∴ 四边形 $EFGH$ 的面积 $=\frac{1}{2}EG\cdot HF=\frac{1}{2}\times2\times2 = 2$.