《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

10.（2024湖南永州东安期中，22，★★☆）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，求证：∠DHO = ∠DCO.

答案： 证明 $\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore OD = OB$，$\angle COD = 90^{\circ}$，
$\because DH\perp AB$，$\therefore OH=\frac{1}{2}BD = OB$，$\therefore \angle OHB=\angle OBH$，
又$\because AB// CD$，$\therefore \angle OBH=\angle ODC=\angle OHB$，
在$Rt\triangle COD$中，$\angle ODC+\angle DCO = 90^{\circ}$，
在$Rt\triangle DHB$中，$\angle OHB+\angle DHO = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DHO=\angle DCO$.

11.（2024贵州毕节一模，21，★★☆）如图，在菱形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，DF = BE，连接AE，AF，CE.
（1）求证：△ADF≌△CBE.
（2）若BD = 6，∠BAD = 120°，且△AEF是等边三角形，求CE的长.

答案： 解析
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AD = BC$，$AD// BC$，$\therefore \angle ADF=\angle CBE$，
在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中，
$\begin{cases}AD = BC,\\\angle ADF=\angle CBE,\\DF = BE,\end{cases}$ $\therefore \triangle ADF\cong\triangle CBE(SAS)$.
(2)$\because AD// BC$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = 60^{\circ}$，
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore \angle ABE=\angle CBE = 30^{\circ}$，$AB = BC$，
又$\because BE = BE$，$\therefore \triangle ABE\cong\triangle CBE(SAS)$，$\therefore AE = CE$，
$\because \triangle AEF$为等边三角形，$\therefore \angle AEF = 60^{\circ}$，$AE = EF = AF$，$\therefore \angle BAE = 60^{\circ}-\angle ABE = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE=\angle ABE$，$\therefore BE = AE$，
同理$AF = DF$，$\therefore BE = EF = DF$，
$\because BD = 6$，$\therefore BE = AE = 2$，$\therefore CE = 2$.

12.[推理能力]在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随动点P的位置变化而变化.

（1）如图①，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是________，BC与CE的位置关系是________.
（2）如图②，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.

答案：
解析
(1)如图1，连接$AC$，延长$CE$交$AD$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABC$，$\triangle ACD$都是等边三角形，$\angle ABD=\angle CBD = 30^{\circ}$，
$\therefore AB = AC$，$\angle BAC=\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle CAH = 60^{\circ}$，
$\because \triangle APE$是等边三角形，$\therefore AP = AE$，$\angle PAE = 60^{\circ}$，
$\because \angle BAC=\angle PAE$，$\therefore \angle BAP+\angle PAC=\angle CAE+\angle PAC$，$\therefore \angle BAP=\angle CAE$，
$\therefore \triangle BAP\cong\triangle CAE(SAS)$，
$\therefore BP = CE$，$\angle ABP=\angle ACE = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BCE=\angle ACB+\angle ACE = 90^{\circ}$，$\therefore CE\perp BC$.
故答案为$BP = CE$；$CE\perp BC$.

(2)
(1)中结论仍然成立，理由如下：
如图2，连接$AC$，
由
(1)知$\triangle ABC$，$\triangle ACD$为等边三角形，
在$\triangle ABP$和$\triangle ACE$中，$AB = AC$，$AP = AE$，
又$\because \angle BAP=\angle BAC+\angle CAP = 60^{\circ}+\angle CAP$，$\angle CAE=\angle EAP+\angle CAP = 60^{\circ}+\angle CAP$，
$\therefore \angle BAP=\angle CAE$，$\therefore \triangle ABP\cong\triangle ACE(SAS)$，
$\therefore BP = CE$，$\angle ACE=\angle ABD = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BCE=\angle ACB+\angle ACE = 90^{\circ}$，$\therefore CE\perp BC$.

1.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD = 4，CE = 6，那么△ABC的面积等于 （ ）
A.12
B.14
C.16
D.18

答案：
C 如图，设$BD$与$CE$相交于点$H$，连接$ED$，
则$S_{四边形BCDE}=\frac{1}{2}BD\cdot EH+\frac{1}{2}BD\cdot CH=\frac{1}{2}BD\cdot (EH + CH)=\frac{1}{2}BD\cdot CE = 12$.$\because CE$是$\triangle ABC$的中线，
$\therefore S_{\triangle ACE}=S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$\because D$为$AC$的中点，$\therefore S_{\triangle ADE}=S_{\triangle EDC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACE}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$，
$\therefore S_{四边形BCDE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{4}{3}\times12 = 16$. 故选C.

2.（2024广西梧州一模）如图，菱形ABCD中，若AB = 5，BD = 6√2，则菱形ABCD的面积是________.

答案：
答案 $6\sqrt{14}$
解析 如图，连接$AC$交$BD$于点$O$，$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore OB = OD = 3\sqrt{2}$，$OA = OC$，$AC\perp BD$，在$Rt\triangle AOB$中，$\angle AOB = 90^{\circ}$，
根据勾股定理，得$OA=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{7}$，$\therefore AC = 2OA = 2\sqrt{7}$，
$\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times2\sqrt{7}\times6\sqrt{2}=6\sqrt{14}$.

3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD = 1，AC = 3，BD = 4，则BC = ________，$S_{梯形ABCD}$=________.

答案：
答案 4；6
解析 如图，过点$D$作$DE// AC$交$BC$的延长线于点$E$，
$\because AD// BC$，$\therefore$ 四边形$ACED$是平行四边形，
$\therefore DE = AC = 3$，$CE = AD = 1$，
$\because AC\perp BD$，$\therefore DE\perp BD$，$\therefore \angle BDE = 90^{\circ}$，
$\therefore BE=\sqrt{BD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$，$\therefore BC = BE - CE = 4$.
$\because AC\perp BD$，
$\therefore$ 梯形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2}BD\cdot AC=\frac{1}{2}\times4\times3 = 6$.