《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

1.下列条件可以说明平行四边形ABCD是正方形的为 （ ）
A.AB = CD，∠A = 90°
B.AB = AD，∠A = 90°
C.AB//CD，∠A = 90°
D.以上均错

答案： B 正方形是有一个角为直角，一组邻边相等的平行四边形，符合这一条件的只有选项 B.

2.（2023湖南衡阳十七中二模）正方形具有而矩形不一定具有的性质是 （ ）
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.四个角都相等
D.对角线互相垂直

答案： D \nA. 正方形和矩形的对角线都互相平分，不符合题意；\nB. 正方形和矩形的对角线都相等，不符合题意；\nC. 正方形和矩形的四个角都是直角，不符合题意；\nD. 正方形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定互相垂直，符合题意. 故选 D.

3.教材变式·P74习题T1（2024广西南宁兴宁期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE，则∠CBE的度数为 （ ）

A.55°
B.60°
C.75°
D.80°

答案： C \n因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AB = AD$，$\angle ABC=\angle BAD = 90^{\circ}$；\n因为 $\triangle ADE$ 是等边三角形，所以 $AD = AE$，$\angle DAE = 60^{\circ}$；\n所以 $AB = AE$，$\angle BAE=\angle BAD+\angle DAE=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}$；\n所以 $\angle ABE=\angle AEB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAE)=\frac{1}{2}\times(180 - 150)^{\circ}=15^{\circ}$；\n所以 $\angle CBE=\angle ABC-\angle ABE=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$，故选 C.

4.如图，正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE = CO，连接BE，则BE的长度为 （ ）

A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.2$\sqrt{5}$

答案： C \n因为正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，所以 $OB = OC$，$OB\perp OC$；\n所以 $OB^{2}+OC^{2}=BC^{2}$，因为正方形 $ABCD$ 的边长为 $\sqrt{2}$，即 $BC = \sqrt{2}$，所以 $OB = OC = 1$；\n因为 $CE = OC$，所以 $OE = 2$；\n在 $Rt\triangle OBE$ 中，$BE=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.

5.七巧板被誉为“东方魔板”.在一次美术制作活动课上，小明用边长为4 cm的正方形纸片制作了如图1所示的七巧板，并设计了一幅作品（如图2），则作品中阴影部分的面积是________$cm^{2}$.
            

答案： 答案 $5$\n**解析** 由七巧板的切割方法可知，阴影部分中较大的直角三角形的直角边长为原正方形对角线长的一半，较小的直角三角形的直角边长为原正方形对角线长的 $\frac{1}{4}$；\n因为原正方形的边长为 $4\ cm$，所以原正方形的对角线长为 $4\sqrt{2}\ cm$；\n所以阴影部分中较大的直角三角形的直角边长为 $2\sqrt{2}\ cm$，较小的直角三角形的直角边长为 $\sqrt{2}\ cm$，且阴影部分的两个三角形均为等腰直角三角形；\n所以阴影部分面积为 $\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}=5(cm^{2})$.

6.如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF，求证：CE = DF.

答案： 证明 \n因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AB = BC = CD$，$\angle EBC=\angle FCD = 90^{\circ}$；\n因为 $E$、$F$ 分别是 $AB$、$BC$ 的中点，所以 $BE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}BC$，所以 $BE = CF$；\n在 $\triangle CEB$ 和 $\triangle DFC$ 中，$\begin{cases}BC = CD\\\angle B=\angle DCF\\BE = CF\end{cases}$；\n所以 $\triangle CEB\cong\triangle DFC(SAS)$，所以 $CE = DF$.

7.如图，在正方形ABCD中，AB = 2，AC为对角线，AE平分∠DAC，EF⊥AC，垂足为F，求FC的长.（M8202005）

答案： 解析 \n因为四边形 $ABCD$ 是正方形，$AB = 2$，所以 $AB = BC = AD = 2$，$\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$；\n所以 $AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=2\sqrt{2}$；\n因为 $AE$ 平分 $\angle DAC$，$EF\perp AC$，$ED\perp AD$，所以 $EF = ED$；\n又因为 $EA = EA$，所以 $Rt\triangle EAF\cong Rt\triangle EAD(HL)$，所以 $AF = AD = 2$；\n所以 $FC=AC - AF=2\sqrt{2}-2$.

8.一题多解（2024湖南岳阳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F都在AC上，且AF = CE，求证：四边形BEDF是菱形.

答案：
证明 \n**【证法一】** 如图，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$，因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $BO = DO$，$AO = CO$，$AC\perp BD$；\n因为 $AF = CE$，所以 $EO = FO$，所以四边形 $DEBF$ 是平行四边形；\n又因为 $AC\perp BD$，所以平行四边形 $DEBF$ 是菱形.\n**【证法二】** 因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AB = AD = CD = BC$，$\angle DAE=\angle BAE=\angle BCF=\angle DCF = 45^{\circ}$；\n因为 $AF = CE$，所以 $AE = CF$；\n在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADE$ 中，$\begin{cases}AB = AD\\\angle BAE=\angle DAE\\AE = AE\end{cases}$，所以 $\triangle ABE\cong\triangle ADE(SAS)$，所以 $BE = DE$；\n同理可得 $\triangle BFC\cong\triangle DFC$，所以 $BF = DF$；\n在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CBF$ 中，$\begin{cases}AB = BC\\\angle BAE=\angle BCF\\AE = CF\end{cases}$，所以 $\triangle ABE\cong\triangle CBF(SAS)$，所以 $BE = BF$；\n所以 $BE = BF = DE = DF$，所以四边形 $BEDF$ 是菱形.