《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

9.（2024湖南长沙开福月考，7，★☆☆）现有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，若将它们摆成两个直角三角形，则下列选项中正确的是 （ ）

答案： C A.$7^{2}+20^{2}\neq24^{2}$，$15^{2}+20^{2}=25^{2}$，故 A 选项不符合题意；B.$7^{2}+24^{2}=25^{2}$，$15^{2}+20^{2}\neq24^{2}$，故 B 选项不符合题意；C.$7^{2}+24^{2}=25^{2}$，$15^{2}+20^{2}=25^{2}$，故 C 选项符合题意；D.$7^{2}+20^{2}\neq25^{2}$，$24^{2}+15^{2}\neq25^{2}$，故 D 选项不符合题意. 故选 C.

10.（2024广西南宁二中期中，17，★☆☆）如图，在四边形ABCD中，∠A = 90°，AD = AB = 2，BC = $\sqrt{2}$，CD = $\sqrt{10}$，则∠ABC的度数为________.

答案： 答案 $135^{\circ}$
解析 连接 $BD$（图略），$\because \angle A = 90^{\circ}$，$AD = AB = 2$，$\therefore \angle ABD=\angle ADB = 45^{\circ}$，$BD=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$\because BC=\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{10}$，$\therefore BC^{2}+BD^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=10 = CD^{2}$，$\therefore \triangle DBC$ 是直角三角形，$\angle DBC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ABC=\angle ABD+\angle DBC = 45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$.

11. 新考向·代数推理（2022湖北孝感中考，15，★☆☆）勾股定理在中国最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”. 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，这类勾股数的特点：勾为奇数，弦与股相差1. 柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；……，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）.

答案： 答案 $m^{2}+1$
解析 $\because m$ 为正整数，$\therefore 2m$ 为偶数，设勾股数的股是 $a$，则其弦为 $a + 2$，根据勾股定理得 $(2m)^{2}+a^{2}=(a + 2)^{2}$，解得 $a = m^{2}-1$，则 $a + 2 = m^{2}+1$. 故其弦是 $m^{2}+1$.

12.（2024湖南长沙周南教育集团期中，21，★★☆）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15 km，与公路上另一停靠站B的距离为20 km，停靠站A、B之间的距离为25 km，且CD⊥AB.（M8201003）
（1）求修建的公路CD的长.
（2）公路CD修通后，一辆货车从C处经过D处到达B处的路程是多少？

答案： 解析 （1）由题意得，$AC = 15$ km，$BC = 20$ km，$AB = 25$ km，$\because 15^{2}+20^{2}=25^{2}$，即 $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，$\therefore \triangle ACB$ 是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，$\therefore CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{15\times20}{25}=12$（km）.
答：修建的公路 $CD$ 的长是 12 km.
（2）在 $Rt\triangle BDC$ 中，$BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}} = 16$（km），$\therefore$ 从 C 处经过 D 处到达 B 处的路程 $=CD + BD = 12+16 = 28$（km）.
答：一辆货车从 C 处经过 D 处到达 B 处的路程是 28 km.

13. 应用意识 某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动. 如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘点B离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘点A与点C之间的距离AC为24 cm.

（1）求AB的长.
（2）小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为∠DAF时（点D为点B的对应点），顶部边缘点D离桌面的高度为DE，此时底部边缘点A与点E之间的距离AE为15 cm，求此时电脑顶部边缘上升的高度.

答案： 解析 （1）根据题意，得 $BC = 7$ cm，$AC = 24$ cm，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle ABC$ 中，由勾股定理，得 $AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{24^{2}+7^{2}} = 25$（cm）.
答：$AB$ 的长为 25 cm.
（2）$\because AD = AB = 25$ cm，$AE = 15$ cm，$\angle AED = 90^{\circ}$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle ADE$ 中，由勾股定理，得 $DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}} = 20$（cm），$\therefore$ 此时电脑顶部边缘上升的高度为 $20 - 7 = 13$（cm）.
答：此时电脑顶部边缘上升的高度为 13 cm.