《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

17.几何直观 如图,已知一次函数$y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于点$A,B$,点$C,D$均在该函数图象上.(M8204003)
(1)判断点$(\frac{5}{4},0)$是否在直线$AB$上,并说明理由.
(2)当$-1\leq y\leq3$时,求$x$的取值范围.
(3)在$x$轴上是否存在点$P$,使得$\triangle CDP$的面积为2? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 解析：\n
(1)点$(\frac{5}{4},0)$在直线$AB$上. 理由如下：在$y=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$中，令$x=\frac{5}{4}$，则$y=-\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}+\frac{5}{3}=0$，$\therefore$点$(\frac{5}{4},0)$在直线$AB$上.\n
(2)在$y=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$中，令$y=-1$，则$-1=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$，解得$x = 2$，令$y = 3$，则$3=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$，解得$x=-1$，$\therefore$当$-1\leqslant y\leqslant3$时，$x$的取值范围是$-1\leqslant x\leqslant2$.\n
(3)存在点$P$，使得$\triangle CDP$的面积为$2$.
在$y=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$中，令$x=-1$，得$y = 3$，$\therefore D(-1,3)$，在$y=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$中，令$y=-1$，得$x = 2$，$\therefore C(2,-1)$，在$y=-\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$中，令$y = 0$，得$x=\frac{5}{4}$，$\therefore A(\frac{5}{4},0)$，$\because\triangle CDP$的面积为$2$，$\therefore\frac{1}{2}AP\cdot|y_{D}-y_{C}| = 2$，即$\frac{1}{2}AP\times4 = 2$，$\therefore AP = 1$，当$P$在$A$左侧时，点$P$的坐标为$(\frac{1}{4},0)$；当$P$在$A$右侧时，点$P$的坐标为$(\frac{9}{4},0)$. 综上所述，点$P$的坐标为$(\frac{1}{4},0)$或$(\frac{9}{4},0)$.

1.(2024湖南湘潭月考)一次函数$y = 2x + 5$的图象经过(M8204003) ( )

A.第一、二、四象限
B.第一、二、三象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限

答案： B：$\because k = 2＞0$，$\therefore$一次函数的图象经过第一、三象限，$\because b = 5＞0$，$\therefore$函数图象与$y$轴正半轴相交，$\therefore$函数图象经过第一、二、三象限. 故选 B.

2.(2024湖南长沙雅礼教育集团期中)已知点$(k,b)$在第一象限内,则一次函数$y = kx - b$的图象大致是(M8204003) ( )

A. B. C. D.

答案： B：$\because$点$(k,b)$在第一象限内，$\therefore k＞0$，$b＞0$，$\therefore -b＜0$，$\therefore$一次函数$y = kx - b$的图象经过第一、三、四象限. 故选 B.

3.已知下图是函数$y = kx + 1$的图象,则$y = 2kx + 1$的图象可能是(M8204003) ( )
                   

答案： C：由函数$y = kx + 1$的图象得，$k＞0$，$\therefore 2k＞0$，且$2k＞k$，$\therefore$一次函数$y = 2kx + 1$的图象与$x$轴所夹的锐角大于$y = kx + 1$的图象与$x$轴所夹的锐角，且函数$y = 2kx + 1$的图象过第一、二、三象限. 故选 C.