《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

9. (2024湖南长沙长郡教育集团期中,20,★★☆)如图，在平面直角坐标系中，直线y = -$\frac{1}{2}$x + 3分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线y = $\frac{1}{2}$x交于点A.（M8204005）
（1）分别求出点A、B、C的坐标.
（2）直接写出关于x的不等式-$\frac{1}{2}$x + 3 ≤ $\frac{1}{2}$x的解集.
（3）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为3，求直线CD的函数表达式.

答案： 解析
(1) 在 $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 中，当 $x = 0$ 时，$y = 3$，当 $y = 0$ 时，$x = 6$，则 $B(6,0)$，$C(0,3)$，联立 $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 和 $y=\frac{1}{2}x$ 得 $\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + 3\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 3\\y=\frac{3}{2}\end{cases}$，
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标是 $(3,\frac{3}{2})$.
(2) 由图象可得，当 $x＞3$ 时，直线 $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 在直线 $y=\frac{1}{2}x$ 的下方，即 $-\frac{1}{2}x + 3＜\frac{1}{2}x$，当 $x = 3$ 时，两直线相交于点 $A$，即 $-\frac{1}{2}x + 3=\frac{1}{2}x$，$\therefore$ 关于 $x$ 的不等式 $-\frac{1}{2}x + 3\leqslant\frac{1}{2}x$ 的解集是 $x\geqslant3$.
(3) 由题意得，设点 $D$ 的坐标为 $(x,\frac{1}{2}x)$，
$\because\triangle COD$ 的面积为 $3$，$\therefore\frac{1}{2}\times3x = 3$，$\therefore x = 2$，
$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(2,1)$，
设直线 $CD$ 的函数表达式为 $y = kx + b(k\neq0)$，
将 $(0,3)$、$(2,1)$ 代入得 $\begin{cases}b = 3\\2k + b = 1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = -1\\b = 3\end{cases}$，
$\therefore$ 直线 $CD$ 的函数表达式为 $y = -x + 3$.

10. 应用意识 (2024黑龙江绥化中考)为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买A、B两种电动车. 若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元. 已知这两种电动车的单价不变.（M8204006）
（1）求A、B两种电动车的单价分别是多少元.
（2）为适应共享电动车出行的市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车共200辆，其中A种电动车的数量不多于B种电动车数量的一半. 当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少？最少费用是多少元？
（3）该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系如下图所示，其中A种电动车支付费用对应的函数图象为y₁；B种电动车支付费用是10 min之内，起步价为6元，对应的函数图象为y₂.
请根据图象信息解决下列问题：
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班. 已知两种电动车的平均行驶速度均为300 m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8 km，那么小刘选择________（填“A”或“B”）种电动车更省钱.
②直接写出当两种电动车支付费用相差4元时，x的值.

答案： 解析
(1) 设 A、B 两种电动车的单价分别为 $x$ 元、$y$ 元，
由题意得 $\begin{cases}25x + 80y = 305000\\60x + 120y = 480000\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 1000\\y = 3500\end{cases}$.
答：A、B 两种电动车的单价分别为 1000 元、3500 元.
(2) 设购买 A 种电动车 $m$ 辆，则购买 B 种电动车 $(200 - m)$ 辆，
由题意得 $m\leqslant\frac{1}{2}(200 - m)$，解得 $m\leqslant\frac{200}{3}$，
设所需购买总费用为 $w$ 元，
则 $w = 1000m + 3500(200 - m)= -2500m + 700000$，
$\because -2500＜0$，$\therefore w$ 随着 $m$ 的增大而减小，
$\because m$ 取正整数，$\therefore$ 当 $m = 66$ 时，$w$ 的值最小，
此时 $w = 700000 - 2500\times66 = 535000$.
答：当购买 A 种电动车 66 辆时，所需的总费用最少，最少费用为 535000 元.
(3)
① $\because$ 两种电动车的平均行驶速度均为 $300\ m/min$，小刘家到公司的距离为 $8\ km$，
$\therefore$ 小刘骑行电动车所用时间为 $\frac{8000}{300}=26\frac{2}{3}(min)$，
根据函数图象可得当 $x＞20$ 时，$y_2＜y_1$，
$\therefore$ 小刘选择 B 种电动车更省钱，
故答案为 B.
② $x$ 的值为 5 或 40.
详解：设 $y_1 = k_1x(k_1\neq0)$，将 $(20,8)$ 代入得 $8 = 20k_1$，
$\therefore k_1=\frac{2}{5}$，$\therefore y_1=\frac{2}{5}x$.
当 $0＜x\leqslant10$ 时，$y_2 = 6$，
当 $x\geqslant10$ 时，设 $y_2 = k_2x + b_2(k_2\neq0)$，
将 $(10,6)$、$(20,8)$ 代入得 $\begin{cases}10k_2 + b_2 = 6\\20k_2 + b_2 = 8\end{cases}$，解得 $\begin{cases}k_2=\frac{1}{5}\\b_2 = 4\end{cases}$，
$\therefore y_2=\frac{1}{5}x + 4$，$\therefore y_2=\begin{cases}6(0＜x\leqslant10)\\\frac{1}{5}x + 4(x＞10)\end{cases}$，
依题意，当 $0＜x\leqslant10$ 时，$y_2 - y_1 = 4$，即 $6-\frac{2}{5}x = 4$，
$\therefore x = 5$，
当 $x＞10$ 时，$|y_2 - y_1| = 4$，即 $|\frac{1}{5}x + 4-\frac{2}{5}x| = 4$，
$\therefore x = 0$（舍去）或 $x = 40$. 综上，$x$ 的值为 5 或 40.