《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

20.(2024广西河池凤山期末)(8分)如图,在△ABC中,点D在BC边上,∠BAD = 100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥BA交BA的延长线于点F,且∠AEF = 50°,连接DE.
(1)求证:DE平分∠ADC.
(2)若AB = 7,AD = 4,CD = 8,且$S_{\triangle ACD}=15$,求△ABE的面积.

答案：
解析
(1)证明：过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，如图，
∵EF⊥AB，∠AEF = 50°，
∴∠FAE = 90° - 50° = 40°，
∵∠BAD = 100°，
∴∠CAD = 180° - 100° - 40° = 40°，
∴∠FAE = ∠CAD，即AC为∠DAF的平分线，
又
∵EF⊥AB，EG⊥AD，
∴EF = EG，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴EF = EH，
∴EG = EH，
∴点E在∠ADC的平分线上，
∴DE平分∠ADC.
(2)设EG = x，由
(1)得EF = EH = EG = x，
∵S△ACD = 15，AD = 4，CD = 8，
∴1/2AD·EG + 1/2CD·EH = 15，即2x + 4x = 15，
解得x = 2.5，
∴EF = x = 2.5，
∴S△ABE = 1/2AB·EF = 1/2×7×2.5 = 35/4.

21.[新考向·教材拓展探究试题](2024山东潍坊昌乐期中)(10分)公元3世纪,古人就通过拼图验证了勾股定理:在直角三角形中,两直角边a,b与斜边c满足关系式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.还探索验证了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,那么这个三角形是直角三角形.
(1)小明发现了证明勾股定理的新方法:如图1,在正方形ACDE的边CD上取点B,连接AB,得到Rt△ACB,三边长分别为a,b,c,剪下△ACB把它拼接到△AEF的位置,如图2所示,请利用面积不变证明勾股定理.
(2)一个零件的形状如图3所示,按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角,小明测得这个零件各边的尺寸(单位:cm)如图3所示,请问这个零件符合要求吗? 并说明理由.

答案：
解析
(1)证明：如图，连接BF，
∵AC = b，
∴正方形ACDE的面积为b²，
∵CD = DE = AC = b，EF = BC = a，
∴BD = CD - BC = b - a，DF = EF + DE = a + b，
∵∠CAE = 90°，
∴∠BAC + ∠BAE = 90°，
∵∠BAC = ∠EAF，
∴∠EAF + ∠BAE = 90°，即∠BAF = 90°，
∵AF = AB = c，
∴△BAF为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为1/2c² + 1/2(b - a)(a + b) = 1/2c² + 1/2(b² - a²)，
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b² = 1/2c² + 1/2(b² - a²)，整理得a² + b² = c².

(2)这个零件不符合要求.
理由：连接BD，如图，
由勾股定理的逆定理知，只有当BC² + DC² = AB² + AD² = BD²时，∠A和∠C都是直角，
∵BC² + DC² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625，
AB² + AD² = 23² + 8² = 529 + 64 = 593，且625 ≠ 593，
∴BC² + DC² ≠ AB² + AD²，
∴∠A和∠C不可能都是直角. 因此，这个零件不符合要求.

22.(12分)已知在△ABC中,∠ABC = 90°,点E在直线AB上,ED与直线AC垂直,垂足为D,且M为EC的中点,连接BM,DM.
(1)如图1,若点E在线段AB上,探究线段BM与DM,∠BMD与∠BCD满足的数量关系,并直接写出你得到的结论.
(2)如图2,若点E在线段BA的延长线上,(1)中的结论是否仍然成立? 写出你的猜想并加以证明.

答案： 解析
(1)BM = DM，∠BMD = 2∠BCD.
详解：
∵M是EC的中点，∠ABC = ∠EDC = 90°，
∴BM = CM = DM = 1/2CE，
∴∠MCB = ∠MBC，∠MCD = ∠CDM，
∴∠BME = 2∠MCB，∠DME = 2∠MCD，
∴∠BME + ∠DME = 2(∠MCB + ∠MCD)，
即∠BMD = 2∠BCD.
(2)
(1)中的结论仍然成立.
证明：
∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM = 1/2EC = MC，
∵点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM = 1/2EC = MC，
∴BM = DM.
∵BM = MC，DM = MC，
∴∠CBM ∠BCM，∠DCM ∠CDM，
∴∠BMD = ∠EMB - ∠EMD = 2∠BCM - 2∠DCM = 2(∠BCM - ∠DCM) = 2∠BCD，即∠BMD = 2∠BCD.