《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

1. 一题多解 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，AD⊥BC 于点 D，BG 平分∠ABC 分别交 AD，AC 于点 E，G，EF//BC 交 AC 于点 F，求证：AE = CF.

答案：
证明 【证法一】转化法：如图所示，过点 E 作 EH//CF 交 BC 于点 H，
∴∠3 = ∠C，
∵∠BAC = 90°，AD⊥BC，
∴∠ABC + ∠C = 90°，
∠ABD + ∠BAD = 90°，
∴∠C = ∠BAD，
∴∠3 = ∠BAD.
∵BG 平分∠ABC，
∴∠2 = ∠1.
在△ABE 和△HBE 中，$\begin{cases} \angle BAE = \angle 3, \\ \angle 2 = \angle 1, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴△ABE≌△HBE(AAS)，
∴AE = HE.

∵EF//BC，EH//CF，
∴四边形 EHCF 是平行四边形，
∴HE = CF，
∴AE = CF.
【证法二】全等法：过点 E 作 EN⊥AB 于点 N，过点 F 作 FM⊥BC 于点 M，如图所示，
∴∠ANE = ∠CMF = 90°，
∵BG 是∠ABC 的平分线，AD⊥BC，
∴EN = ED.
∵AD⊥BC，FM⊥BC，
∴FM//ED，∠C + ∠2 = 90°.
∵EF//DM，
∴四边形 EDMF 是平行四边形，
∴ED = FM，
∴EN = FM.
∵∠BAC = ∠1 + ∠2 = 90°，∠C + ∠2 = 90°，
∴∠1 = ∠C.
在△ANE 和△CMF 中，
$\begin{cases} \angle 1 = \angle C, \\ \angle ANE = \angle CMF, \\ EN = FM, \end{cases}$
∴△ANE≌△CMF(AAS)，
∴AE = CF.

4. 如图，在△ABC 中，∠BAC = 60°，D 是 AB 上一点，AC = BD，P 是 CD 的中点，连接 AP，求证：AP = $\frac{1}{2}BC$.

答案：
证明 延长 AP 至点 F，使得 PF = AP，连接 BF，DF，CF，如图，
∵P 是 CD 的中点，
∴CP = DP，
∵PF = AP，
∴四边形 ACFD 是平行四边形，
∴DF = AC = BD，DF//AC，
∴∠FDB = ∠BAC = 60°，
∴△BDF 是等边三角形，
∴BF = DF = AC，∠ABF = 60°，
∴∠ABF = ∠BAC，
在△ABC 和△BAF 中，$\begin{cases} AB = BA, \\ \angle BAC = \angle ABF, \\ AC = BF, \end{cases}$
∴△ABC≌△BAF(SAS)，
∴AF = BC，
∴AP = $\frac{1}{2}$AF = $\frac{1}{2}$BC.

2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，BC＞AD，∠B = ∠C，求证：∠A = ∠D.

答案：
证明 过点 D 作 DE//AB 交 BC 于点 E，如图所示，
则∠B = ∠DEC，
∵∠B = ∠C，
∴∠DEC = ∠C，
∴DE = DC，
∵AB = CD，
∴AB = DE，
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴∠A = ∠BED，AD//BC，
∴∠ADE = ∠DEC = ∠C.
∵∠BED = ∠C + ∠EDC，
∴∠A = ∠ADE + ∠EDC = ∠ADC.

5. 如图，□ABCD 中，AB＞AD，∠DAB 与∠ADC 的平分线交于点 E，∠ABC 与∠BCD 的平分线交于点 F，连接 EF，请证明：EF = AB - BC.

答案：
证明 延长 DE 交 AB 于点 M，如图，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC，CD//AB，
∴∠ADC + ∠BAD = 180°，
∠CDM = ∠AME，
∵AE、DE 分别平分
∠DAB、∠ADC，
∴∠ADE + ∠DAE = 90°，∠ADM = ∠CDM，
∴∠AED = 90°，∠ADM = ∠AMD，
∴BC = AD = AM，
∴ED = EM，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠DAB = ∠BCD，
∵AE 平分∠DAB，CF 平分∠BCD，
∴∠DAE = ∠BCF，
同理可得∠ADE = ∠CBF = ∠ABF，
在△ADE 和△CBF 中，$\begin{cases} \angle ADE = \angle CBF, \\ AD = CB, \\ \angle DAE = \angle BCF, \end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴DE = BF，
∴EM = BF，
∵∠AMD = ∠ADM = ∠ABF，
∴EM//BF，
∴四边形 EFBM 是平行四边形，
∴EF = MB，
∵BM = AB - AM = AB - BC，
∴EF = AB - BC.

3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 AB 延长线上一点，BD = AB，E 是 AB 的中点，连接 CD，CE，求证：CD = 2CE.

答案：
证明 如图所示，延长 CE 至点 F，使 EF = CE，连接 AF，BF，
∵AE = BE，
∴四边形 ACBF 是平行四边形.
∴BF = AC = AB = BD，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴∠FBC = 180° - ∠ACB = 180° - ∠ABC = ∠DBC，
又
∵BC = BC，
∴△FBC≌△DBC(SAS)，
∴CD = CF = 2CE.

6. 如图，已知在△ABC 中，AB = AC，D 为 AB 上一点，E 为 AC 延长线上一点，BD = CE，连接 DE，求证：DE＞BC.

答案：
证明 如图，过点 D 作 DF//BC，且 DF = BC，连接 EF，CD，CF，
∴四边形 DBCF 是平行四边形，
∴BD = CF，∠B = ∠DFC，
∵BD = CE，
∴CE = CF，
∴∠CEF = ∠CFE.
∵AB = AC，
∴∠ACB = ∠B = ∠DFC，
∵∠ACB = ∠CGE + ∠DEC ＞ ∠DEC，
∴∠DFC ＞ ∠DEC，
∴∠DFE = ∠DFC + ∠CFE ＞ ∠DEC + ∠CEF = ∠DEF，
∴DE ＞ DF，
∵DF = BC，
∴DE ＞ BC.