《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

18. (2024浙江中考)(6分)尺规作图问题：
如图1，点E是□ABCD的边AD上一点(不包含A，D)，连接CE.用尺规作AF//CE，F是边BC上一点.
小明：如图2，以点C为圆心，AE为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF//CE.
小丽：以点A为圆心，CE为半径作弧，交BC于点F，连接AF，则AF//CE.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦……我明白了！

(1)根据小明的作法，证明：AF//CE.
(2)指出小丽作法中存在的问题.

答案： 解析
(1)证明：根据小明的作法知，CF = AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，又
∵CF = AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF//CE.
(2)以点A为圆心，CE长为半径画弧，此时可能会与BC有两个交点，只有其中之一符合题意.故小丽的作法有问题.

19. (2024湖南怀化一模)(8分)如图，延长平行四边形ABCD的边AD、AB，作CE⊥AB交AB的延长线于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，若CE = CF，求证：四边形ABCD是菱形.

答案： 证明
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠CBE = ∠A，∠CDF = ∠A，
∴∠CBE = ∠CDF，
∵CE⊥AE，CF⊥AF，
∴∠CEB = ∠CFD = 90°，
在△CBE与△CDF中，$\begin{cases}\angle CBE=\angle CDF \\\angle CEB=\angle CFD \\CE = CF\end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS)，
∴CB = CD，
∴四边形ABCD是菱形.

20. (2024湖南中考)(10分)如图，在四边形ABCD中，AB//CD，点E在边AB上，________.请从“①∠B = ∠AED；②AE = BE，AE = CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB，AD = 8，BC = 10，求线段AE的长.

答案： 解析
(1)选择①，证明如下：
∵∠B = ∠AED，
∴BC//DE，
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②，证明如下：
∵AE = BE，AE = CD，
∴BE = CD，
∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)由
(1)可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE = BC = 10，
∵AD⊥AB，
∴∠A = 90°，
∴AE = $\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，
即线段AE的长为6.

21. [一题多解](10分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF，连接OE.
(1)求证：四边形OEFG是矩形.
(2)若AD = 20，EF = 8，求OE和BG的长.

答案： 解析
(1)证明：【证法一】
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB = OD，
∵E为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE//FG，
∵OG//EF，
∴四边形OEFG为平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG = 90°，
∴四边形OEFG为矩形.
【证法二】
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO = ∠BAO，
∵E为AD的中点，
∴AE = OE=\frac{1}{2}AD，
∴∠EAO = ∠AOE，
∴∠AOE = ∠BAO，
∴OE//FG，
∵OG//EF，
∴四边形OEFG为平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG = 90°，
∴四边形OEFG为矩形.
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD = 20，OB = OD，AC⊥BD，
∵E为AD的中点，
∴OE = AE=\frac{1}{2}AD = 10，
由
(1)可知，四边形OEFG是矩形，
∴OG = EF = 8，FG = OE = 10，
∵∠AFE = 90°，
∴AF = $\sqrt{AE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，
∴BG = AB - AF - FG = 20 - 6 - 10 = 4.

22. (2024湖南长沙宁乡期中)(12分)如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E，连接DE交AC于点F.
(1)试判断四边形ADCE的形状，并说明理由.
(2)求证：DF//AB，DF = $\frac{1}{2}$AB.
(3)当△ABC是什么形状的三角形时，四边形ADCE是一个正方形？并说明理由.

答案： 解析
(1)四边形ADCE为矩形.理由如下：
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴∠BAD = ∠CAD，
∵AN平分∠MAC，
∴∠NAC = ∠MAN，
∵∠MAN + ∠CAN + ∠BAD + ∠CAD = 180°，
∴∠DAE = ∠CAD + ∠CAN=\frac{1}{2}×180° = 90°，
又
∵CE⊥AN，AD⊥BC，
∴∠ADC = ∠AEC = 90°，
∴四边形ADCE为矩形.
(2)证明：
∵四边形ADCE是矩形，
∴AF = CF=\frac{1}{2}AC，
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴BD = CD=\frac{1}{2}BC，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF//AB，DF=\frac{1}{2}AB.
(3)当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形.理由如下：
∵∠BAC = 90°且AB = AC，AD⊥BC，
∴∠ACD = ∠CAD = 45°，
∴AD = CD，
∴矩形ADCE为正方形.