《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

7.（2023湖南怀化洪江月考,26,★★☆）在平面直角坐标系中，$O$为原点，点$A(0,2)$，$B(-2,0)$，$C(4,0)$.
(1)如图1，三角形$ABC$的面积为_______.
(2)如图2，将点$B$向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点$D$.
①求三角形$ACD$的面积.
②点$P(m,3)$是一动点，若三角形$PAO$的面积等于三角形$CAO$的面积，请直接写出点$P$坐标.
                                                                                 

答案：
解析
(1)$\because A(0,2)$，$B(-2,0)$，$C(4,0)$，$\therefore OA = 2$，$OB = 2$，$OC = 4$，$\therefore BC = 2 + 4 = 6$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot OA=\frac{1}{2}\times6\times2 = 6$。故答案为 6。
(2) ① 由题意得$D(5,4)$，如图，连接$OD$。$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle COD}-S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\times2\times5+\frac{1}{2}\times4\times4-\frac{1}{2}\times2\times4 = 9$。

② 如图，由题意得$\frac{1}{2}\times2\times|m|=\frac{1}{2}\times2\times4$，解得$m = \pm4$，$\therefore P(-4,3)$或$(4,3)$。

8.新考向·项目式学习试题 抽象能力 类比学习
数轴上一点先向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移了1个单位.用有理数加法表示这一过程为$3+( - 2)=1$.
若坐标平面内的点进行如下平移：沿$x$轴方向平移数量$a$（向右为正，向左为负，平移$|a|$个单位），沿$y$轴方向平移数量$b$（向上为正，向下为负，平移$|b|$个单位），把有序数对$\{a,b\}$叫作这一平移的“平移量”.“平移量”$\{a,b\}$与“平移量”$\{c,d\}$的加法运算法则为$\{a,b\}+\{c,d\}=\{a + c,b + d\}$.
解决问题
(1)计算：$\{3,1\}+\{1,-2\}$.
(2)点$P$从坐标原点$O$出发，先按照“平移量”$\{3,1\}$平移到$A$，再按照“平移量”$\{1,2\}$平移到$B$.若先把点$P$按照“平移量”$\{1,2\}$平移到$C$，再按照“平移量”$\{3,1\}$平移到$D$，最后点$D$与点$B$重合吗？在图1中画出四边形$OABC$，若$\angle OAB=\alpha$，则$\angle OCD=$_______（用含$\alpha$的式子表示）.
(3)如图2，一艘船从码头$O$出发，先航行到湖心岛码头$P(2,3)$，再从码头$P$航行到码头$Q(5,5)$，最后回到出发点$O$.请用“平移量”加法算式表示它的航行全过程，并求出三角形$OPQ$的面积.

答案：
解析
(1)$\{3,1\}+\{1,-2\}=\{4,-1\}$。
(2) 如图所示，最后点$D$与点$B$重合。易知$A(3,1)$，$B(4,3)$，$C(1,2)$，$\therefore OC = AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$OA = BC=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，$\therefore$ 四边形$OABC$是平行四边形，$\therefore\angle OCD=\angle OAB=\alpha$。
(3) 从$O$到$P$，先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，可知从$O$到$P$的“平移量”为$\{2,3\}$，同理可得，从$P$到$Q$的“平移量”为$\{3,2\}$，从$Q$到$O$的“平移量”为$\{-5,-5\}$，故航行全过程为$\{2,3\}+\{3,2\}+\{-5,-5\}=\{0,0\}$。$S_{\triangle OPQ}=5\times5-\frac{1}{2}\times5\times5-\frac{1}{2}\times2\times3-\frac{1}{2}\times(2 + 5)\times2 = 2.5$。