《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

1.（2024 贵州铜仁月考）如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B'处，若∠1 = ∠2 = 36°，则∠B = （ ）

A.126°
B.132°
C.144°
D.156°

答案： A\n因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\angle1 = \angle2 = 36^{\circ}$，所以 $DC// AB$，$\angle1=\angle CAB+\angle CAB'$。\n由折叠的性质可得 $\angle CAB=\angle CAB'$，所以 $2\angle CAB = 36^{\circ}$，则 $\angle CAB = 18^{\circ}$。\n所以 $\angle B=180^{\circ}-\angle CAB - \angle2=180^{\circ}-18^{\circ}-36^{\circ}=126^{\circ}$。故选 A。

2.（2022 浙江台州期末）如图，E、F 分别是□ABCD 的边 AD、BC 上的点，EF = 6，∠DEF = 60°，将四边形 EFCD 沿 EF 翻折，得到四边形 EFC'D'，ED'交 BC 于点 G，则△GEF 的周长为（ ）

A.6
B.12
C.18
D.24

答案： C\n因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AD// BC$，则 $\angle AEG=\angle EGF$。\n将四边形 $EFCD$ 沿 $EF$ 翻折，得到四边形 $EFC'D'$，所以 $\angle GEF=\angle DEF = 60^{\circ}$，则 $\angle AEG = 60^{\circ}$。\n所以 $\angle EGF = 60^{\circ}$，$\triangle EGF$ 是等边三角形。\n因为 $EF = 6$，所以 $\triangle GEF$ 的周长 $=3EF = 18$，故选 C。

3.（2024 河北邯郸二模）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AC，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，沿 EF 折叠平行四边形 ABCD，使点 A 与点 C 重合，点 B 与点 G 对应，AC 与 EF 交于点 O.
（1）求证：△CED≌△CFG.
（2）若∠BCD = 130°，求∠AEF 的度数.

答案： 解析\n（1）**证明**：因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AB = CD$，$\angle BAD=\angle BCD$，$\angle B=\angle D$。\n由折叠的性质可得 $AB = CG$，$\angle B=\angle G$，$\angle BAD=\angle GCE$，所以 $CD = CG$，$\angle D=\angle G$，$\angle BCD=\angle GCE$。\n因为 $\angle ECD+\angle BCE=\angle BCD$，$\angle BCE+\angle FCG=\angle GCE$，所以 $\angle ECD=\angle FCG$，所以 $\triangle CED\cong\triangle CFG(ASA)$。\n（2）因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\angle BCD = 130^{\circ}$，所以 $AD// BC$，$AB// CD$，则 $\angle B=180^{\circ}-\angle BCD = 50^{\circ}$。\n因为 $AB = AC$，所以 $\angle ACB=\angle B = 50^{\circ}$。\n因为 $AD// BC$，所以 $\angle DAC=\angle ACB = 50^{\circ}$。\n因为 $EF$ 为折痕，点 $A$ 与点 $C$ 重合，所以 $AC\perp EF$，$\angle AOE = 90^{\circ}$。\n所以 $\angle AEF=180^{\circ}-\angle DAC-\angle AOE = 40^{\circ}$。

4.（方程思想）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 9，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，则 BF 的长为（ ）

A.4
B.5
C.$\sqrt{10}$
D.3.5

答案： B\n因为四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $\angle A = 90^{\circ}$，$AD// BC$，则 $\angle DEF=\angle BFE$。\n由折叠的性质可知，$DE = BE$，$\angle DEF=\angle BEF$，所以 $\angle BFE=\angle BEF$，$BF = BE = DE$。\n设 $BF = BE = DE=x$，则 $AE = 9 - x$，在 $Rt\triangle ABE$ 中，因为 $BE^{2}=AB^{2}+AE^{2}$，所以 $x^{2}=3^{2}+(9 - x)^{2}$，解得 $x = 5$，所以 $BF = 5$，故选 B。

5.（新独家原创）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，在 AB、BC 上分别取一点 N、M，连接 MN，将△BMN 沿 MN 所在直线折叠，得到△EMN，连接 BE.若∠NME = ∠CAD，点 E 恰好落在矩形的对角线 AC 上，则折痕 MN = ________.

答案： 答案：$\frac{5}{2}$\n**解析**：因为四边形 $ABCD$ 为矩形，$AB = 3$，$BC = 4$，所以 $AD// BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$。\n所以 $\angle BCA=\angle CAD$，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 5$。\n由折叠的性质可得 $\angle BMN=\angle NME$，$ME = MB$。\n又因为 $\angle NME=\angle CAD$，所以 $\angle BCA=\angle BMN$，所以 $MN// AC$，则 $\angle NME=\angle MEC$。\n所以 $\angle MEC=\angle BCA$，$ME = MC = MB$。\n同理可得 $NA = NB$，所以 $MN$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线。\n所以 $MN=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$。

6.（新考向·实践探究试题）（2024 广西南宁期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用轴对称性质解决问题的.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动.

【操作】如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，点 M 在边 AD 上，将矩形纸片 ABCD 沿 MC 所在的直线折叠，使点 D 落在点 D'处，MD'与 BC 交于点 N.
【猜想】
（1）图 1 中线段 MN、CN 的数量关系是________.
【应用】如图 2，继续将矩形纸片 ABCD 折叠，使 AM 恰好落在 MD'所在的直线上，点 A 落在点 A'处，点 B 落在点 B'处，折痕为 ME.
（2）若 CD = 4，MD = 8，求 EC 的长.
（3）猜想 MN、EM、MC 的数量关系，并说明理由.

答案： 解析\n（1）$MN = CN$。\n详解：由折叠的性质可得 $\angle CMD=\angle CMD'$，因为四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $AD// BC$，则 $\angle CMD=\angle MCN$，所以 $\angle CMD'=\angle MCN$，$MN = CN$。故答案为 $MN = CN$。\n（2）由折叠的性质可得 $\angle D=\angle D' = 90^{\circ}$，$DC = D'C = 4$，$MD = MD' = 8$，由（1）得，$MN = CN$，设 $MN = CN=x$，则 $ND'=8 - x$。\n在 $Rt\triangle ND'C$ 中，$\angle D' = 90^{\circ}$，所以 $ND'^{2}+D'C^{2}=CN^{2}$，即 $(8 - x)^{2}+4^{2}=x^{2}$，解得 $x = 5$。\n即 $MN = 5$，由（1）同理可证得 $\angle AME=\angle EMN=\angle MEC$，所以 $EN = MN = 5$，$EC = EN + CN = 10$。\n（3）$EM^{2}+MC^{2}=4MN^{2}$，理由如下：\n由折叠的性质可得 $\angle AME=\angle EMN$，$\angle DMC=\angle CMN$。\n因为 $\angle AME+\angle EMN+\angle DMC+\angle CMN = 180^{\circ}$，所以 $\angle EMN+\angle CMN = 90^{\circ}$，即 $\angle EMC = 90^{\circ}$，所以 $EM^{2}+MC^{2}=CE^{2}$。\n由（2）可得 $EN = MN = CN$，所以 $CE = 2MN$，所以 $EM^{2}+MC^{2}=4MN^{2}$。