《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

1.(2024湖南娄底月考)如图,BE = CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需添加一个条件是 ( )

A.AB//CD
B.∠C = ∠B
C.AB = CD
D.∠B = ∠D

答案： C
$\because AE\perp BC,DF\perp BC,\therefore\angle CFD=\angle AEB = 90^{\circ}$，
$\because BE = CF$，$\therefore$当添加$AB = CD$时，根据“HL”可判定$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle DCF$，故选 C.

2.如图所示,在△ABC中,AB = CB,∠ABC = 90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE = CF.
求证:Rt△ABE≌Rt△CBF.(M8201004)

答案： 证明
$\because\angle ABC = 90^{\circ},\therefore\angle CBF = 90^{\circ}$，
在$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle CBF$中，$\begin{cases}AE = CF,\\AB = CB,\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle CBF(HL)$.

3.新独家原创 陀螺在我国有上千年的历史.传统陀螺大致是由木或铁制成的倒圆锥形,玩法是用鞭子抽打,流传甚广.图1是一个木制的陀螺,图2是其轴剖面示意图,已知AB = BC,∠BAD = ∠BCD = 90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,DE = DF,连接BD,
求证:AE = CF.

答案： 证明
在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle CBD$中，$\begin{cases}BD = BD,\\AB = CB,\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CBD(HL)$，$\therefore AD = CD$，
$\because AE\perp EF$于点$E,CF\perp EF$于点$F$，
$\therefore\angle E=\angle F = 90^{\circ}$，
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle CDF$中，$\begin{cases}AD = CD,\\DE = DF,\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle CDF(HL)$，$\therefore AE = CF$.

4.如图,∠C = ∠D = 90°,添加下列哪个条件,一定能判定Rt△ABC≌Rt△ABD(M8201004) ( )
①AC = AD;
②∠ABC = ∠ABD;
③BC = BD;
④∠BAC = ∠BAD.

A.①②③
B.①③
C.①③④
D.①②③④

答案： D
①当$AC = AD$时，由$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，且$AB = AB$，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ABD(HL)$；
②当$\angle ABC=\angle ABD$时，由$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，且$AB = AB$，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ABD(AAS)$；
③当$BC = BD$时，由$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，且$AB = AB$，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ABD(HL)$；
④当$\angle BAC=\angle BAD$时，由$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，且$AB = AB$，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ABD(AAS)$.
综上，①②③④均符合题意，故选 D.

5.如图,点A、D、C、F在同一条直线上,∠B = ∠E = 90°,AD = CF,BC = EF.(M8201004)
(1)求证:Rt△ABC≌Rt△DEF.
(2)若∠A = 50°,求∠F的度数.

答案： 解析
(1) 证明：$\because AC = AD + DC,DF = DC + CF$，且$AD = CF$，$\therefore AC = DF$，
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$中，$\begin{cases}AC = DF,\\BC = EF,\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF(HL)$.
(2)$\because\angle B = 90^{\circ},\angle A = 50^{\circ},\therefore\angle BCA = 40^{\circ}$，
由
(1)知$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF$，
$\therefore\angle F=\angle BCA = 40^{\circ}$.

6.教材变式·P21T4 下面是小东设计的“已知两线段,求作直角三角形”的尺规作图完整过程.
已知:如图1,线段a及线段b(a ＜ b).
求作:Rt△ABC,使得a、b分别为它的一条直角边和斜边.
作法:如图2,
①作射线CM,在CM上顺次截取CB = BD = a;
②分别以点C、D为圆心,以b的长为半径画弧,两弧交于点A;
③连接AB、AC,则△ABC就是所求作的直角三角形.
根据小东设计的尺规作图过程,回答下列问题:
(1)补全图形,保留作图痕迹.
(2)完成下面的证明.
证明:连接AD,
∵ ______ = AD,CB = ______,
∴ ∠ABC = 90°( ____________ )(填推理依据).

答案：
解析
(1) 如图所示.
(2)$AC$；$BD$；等腰三角形的三线合一.