《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

10.（2024广西南宁经开区期中，10，★★☆）如图，在□ABCD中，AB = 6，BC = 10，BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，则EF的长为 （ ）

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： A $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AD// BC,AD = BC = 10,DC = AB = 6$，$\therefore \angle AFB=\angle FBC$.
$\because BF$ 平分 $\angle ABC$，$\therefore \angle ABF=\angle FBC$，$\therefore \angle AFB=\angle ABF$，
$\therefore AF = AB = 6$，同理可得 $DE = DC = 6$，
$\therefore EF = AF + DE - AD = 6 + 6 - 10 = 2$. 故选 A.

11.（2024浙江中考，10，★★☆）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AC = 2，BD = 2\sqrt{3}.过点A作AE⊥BC于点E，记BE的长为x，BC的长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(M8202002) （ ）

A.x + y
B.x - y
C.xy
D.x^{2}+y^{2}

答案： C 过点 $D$ 作 $DH\perp BC$，交 $BC$ 的延长线于点 $H$（图略），
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AB = DC,AD// BC$，
$\because AE\perp BC,DH\perp BC$，$\therefore AE = DH$，$\therefore Rt\triangle DCH\cong Rt\triangle ABE(HL)$，$\therefore CH = BE = x$，$\because BC = y$，$\therefore EC = BC - BE = y - x$，$BH = BC + CH = y + x$，$\because AE^{2}=AC^{2}-EC^{2},DH^{2}=BD^{2}-BH^{2}$，$\therefore 2^{2}-(y - x)^{2}=(2\sqrt{3})^{2}-(y + x)^{2}$，$\therefore xy = 2$. 故选 C.

12.（2024湖南永州新田期中，14，★★☆）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，过点O作EF分别交AB、CD于点E、F.若S_{□ABCD}= 12，则S_{阴影}=________.

答案： 答案 3
解析 $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AO = CO$，$BO = OD,AB// CD$，$\therefore \angle AEO=\angle CFO$，$\because \angle AOE=\angle COF$，$\therefore \triangle AEO\cong\triangle CFO(AAS)$，$\therefore S_{阴影}=S_{\triangle EOB}+S_{\triangle CFO}=S_{\triangle ABO}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$，$\because S_{\square ABCD}=12$，$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{4}\times12 = 3$.

13.（2023湖南长沙中考，23，★★☆）如图，在□ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
（1）求证：AD = AF.
（2）若AD = 6，AB = 3，∠A = 120°，求BF的长和△ADF的面积.

答案：
解析
（1）证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB// CD$，$\therefore \angle CDE=\angle F$，
$\because DF$ 平分 $\angle ADC$，$\therefore \angle ADE=\angle CDE$，
$\therefore \angle F=\angle ADF$，$\therefore AD = AF$.
（2）$\because AF = AD = 6,AB = 3$，$\therefore BF = AF - AB = 3$.
过点 $D$ 作 $DH\perp AF$ 交 $FA$ 的延长线于点 $H$，如图，
$\because \angle BAD = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle DAH = 60^{\circ}$，$\therefore \angle ADH = 30^{\circ}$，
$\therefore AH=\frac{1}{2}AD = 3$，
$\therefore DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=3\sqrt{3}$，
$\therefore \triangle ADF$ 的面积 $=\frac{1}{2}AF\cdot DH=\frac{1}{2}\times6\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.

14. [推理能力] 请阅读材料并完成相应的任务.
小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的长的平方和等于两条对角线长的平方和，如图1，在□ABCD中，AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}.
小明在老师的提示下，对该性质进行了证明.
证明：如图1，分别过点A，D作BC的垂线，与BC交于点E，与BC的延长线交于点F.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD（依据），AD//BC，AD = BC.
设AB = CD = a，AD = BC = b，BE = c，则CE = b - c，
$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=2a^{2}+2b^{2}$.
在Rt△ABE中，$AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}$，即$AE^{2}=a^{2}-c^{2}$.
在Rt△ACE中，$AC^{2}=AE^{2}+CE^{2}=a^{2}-c^{2}+(b - c)^{2}=a^{2}+b^{2}-2bc$.
……
任务：
（1）证明过程中的“依据”是指____________.
（2）请你补全小明的证明过程.
（3）如图2，在□ABCD中，AB=\frac{4}{3}BC，AC = 12，BD = 16，则□ABCD的周长为________.
                                      

答案： 解析
（1）平行四边形的对边相等.
（2）证明：如图 1，分别过点 $A,D$ 作 $BC$ 的垂线，与 $BC$ 交于点 $E$，与 $BC$ 的延长线交于点 $F$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB = CD,AD// BC,AD = BC$.
设 $AB = CD = a,AD = BC = b,BE = c$，则 $CE = b - c,AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=2a^{2}+2b^{2}$.
在 $Rt\triangle ABE$ 中，$AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}$，即 $AE^{2}=a^{2}-c^{2}$.
在 $Rt\triangle ACE$ 中，$AC^{2}=AE^{2}+CE^{2}=a^{2}-c^{2}+(b - c)^{2}=a^{2}+b^{2}-2bc$.
$\because AD// BC,AE\perp BC,DF\perp BC$，$\therefore AE = DF$，
$\therefore$ 由勾股定理易得 $BE = CF = c$，
$\therefore EF = EC + CF = EC + BE = BC = AD$，
在 $Rt\triangle BDF$ 中，$BD^{2}=DF^{2}+BF^{2}=a^{2}-c^{2}+(b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+2bc$，
$\therefore AC^{2}+BD^{2}=2a^{2}+2b^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}$.
（3）设 $BC = 3x$，则 $AB = 4x$，
由（2）得 $2(4x)^{2}+2(3x)^{2}=12^{2}+16^{2}$，
解得 $x = 2\sqrt{2}$ 或 $x=-2\sqrt{2}$（不合题意，舍去），
$\therefore \square ABCD$ 的周长为 $8x + 6x = 14x = 28\sqrt{2}$，
故答案为 $28\sqrt{2}$.