《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册湘教版》

1. 下图是一个三级台阶的示意图，每一级的长、宽、高分别为 9、3、1，A 和 B 是这个台阶两个相对的点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 （ ）

A. 18
B. 15
C. 12
D. 8

答案：
B 如图，将台阶面展开，连接 $AB$，线段 $AB$ 即为蚂蚁所爬行的最短路线。
由题意得 $AC = 3×3 + 1×3 = 12$，$BC = 9$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}} = 15$，
$\therefore$ 这只蚂蚁爬行的最短路程为 $15$。故选 B。

2.（2023 四川广安中考，15）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 9 cm，底面周长为 16 cm，在杯内壁离杯底 4 cm 的点 A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 1 cm，且与蜂蜜相对的点 B 处，则蚂蚁从外壁 B 处到内壁 A 处所走的最短路程为 ________ cm.（杯壁厚度不计）

答案：
答案 $10$
解析 如图，将玻璃杯侧面展开（展开图的一半），作 $B$ 关于 $EF$ 的对称点 $B'$，作 $B'D\perp AE$，交 $AE$ 的延长线于点 $D$，连接 $AB'$，
由题意得 $DE=\frac{1}{2}BB' = 1\ cm$，$AE = 9 - 4 = 5(cm)$，
$\therefore AD = AE + DE = 6\ cm$，
$\because$ 玻璃杯底面周长为 $16\ cm$，
$\therefore B'D=\frac{1}{2}×16 = 8(cm)$，$\therefore AB'=\sqrt{AD^{2}+B'D^{2}} = 10\ cm$，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 $B$ 处到内壁 $A$ 处所走的最短路程为 $AB' = 10\ cm$。
故答案为 $10$。

3. 在等边三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，点 E，P 分别是线段 AC，AD 上的动点，已知 AB = 2，求 PE + PC 的最小值.

答案：
解析 如图，过 $B$ 作 $BE\perp AC$ 于 $E$，与 $AD$ 交于点 $P$，连接 $PC$，此时 $PE + PC$ 的值最小，
$\because\triangle ABC$ 是等边三角形，$D$ 为 $BC$ 的中点，
$\therefore AD$ 垂直平分 $BC$，$\therefore PC = PB$，
$\therefore PE + PC = PE + PB = BE$，
即 $BE$ 的长就是 $PE + PC$ 的最小值，
$\because\triangle ABC$ 是一个边长为 $2$ 的等边三角形，$BE\perp AC$，
$\therefore\angle BEC = 90^{\circ}$，$CE = 1$，$\therefore BE=\sqrt{BC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，
$\therefore PE + PC$ 的最小值是 $\sqrt{3}$。

4. 转化法 如图，一个长方体盒子的长（EF）、宽（BF）、高（MF）分别是 12 cm、8 cm、30 cm，在 AB 的中点 C 处有一滴蜂蜜，一只小虫从 E 处沿盒子表面爬到 C 处去吃，求小虫爬行的最短路程.

答案：
解析 分三种情况：
①如图 1，连接 $EC$。
在 $Rt\triangle EBC$ 中，$EB = 12 + 8 = 20(cm)$，$BC=\frac{1}{2}×30 = 15(cm)$，由勾股定理，得 $EC=\sqrt{EB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}} = 25(cm)$。
②如图 2，连接 $EC$。
同理可得 $CE=\sqrt{EF^{2}+FC^{2}}=\sqrt{12^{2}+(8 + 15)^{2}}=\sqrt{673}\ cm＞25\ cm$。
③如图 3，连接 $EC$。
同理可得 $CE=\sqrt{8^{2}+(12 + 15)^{2}}=\sqrt{793}\ cm＞25\ cm$。
综上可知，小虫爬行的最短路程是 $25\ cm$。

5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，点 E 在 BC 边上，将△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 恰好落在斜边 AC 上的点 F 处.
（1）若 AE = CE，求∠C 的度数.
（2）若 AB = 3，BC = 4，求△CEF 的周长.

答案： 解析
(1) 由折叠的性质可得 $\angle BAE=\angle CAE$，
$\because AE = CE$，$\therefore\angle C=\angle CAE$。
$\because\angle C+\angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle C+\angle BAE+\angle CAE = 90^{\circ}$，
$\therefore 3\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle C = 30^{\circ}$。
(2) $\because$ 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 4$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
由折叠的性质可得 $AF = AB = 3$，$EF = BE$，
$\therefore CF = AC - AF = 2$，$\therefore\triangle CEF$ 的周长为 $CE + EF + CF = CE + BE + CF = BC + CF = 4 + 2 = 6$。