《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

8. 已知关于$x$的一元二次方程$2x^{2}+4\sin\alpha\cdot x + 1 = 0$有两个相等的实数根，则锐角$\alpha$的度数为（ ）
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $75^{\circ}$

答案： B

9.（1）已知$\alpha$是锐角，$\cos^{2}\alpha = \frac{3}{4}$，则$\alpha$的度数为_______；
（2）在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\tan(A - 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\cos B$的值为_______.

答案：
(1)$30^{\circ}$
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BCA = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，垂足为$D$. 若$AD = 2$，$CD = 2\sqrt{3}$，则$\angle B =$_______$^{\circ}$，$\sin A$的值为_______.
　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　

答案： $30$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

11.（2023·宁夏）将一副三角尺和一把宽度为2的直尺按如图所示的方式摆放，先把$60^{\circ}$和$45^{\circ}$角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两把三角尺的斜边分别交直尺上沿于$A、B$两点，则$AB$的长为_______.

答案： $2\sqrt{3}-2$

12. 一般地，当$\alpha、\beta$为任意角时，$\sin(\alpha + \beta)$与$\sin(\alpha - \beta)$的值可以用下面的公式求得：$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta$；$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta$. 例如：$\sin 75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin 45^{\circ}\cdot\cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}\cdot\sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. 类似地，请求出$\sin 15^{\circ}$的值.

答案： $\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cdot\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\cdot\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

13.（2024·湖北）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，点$E$在$AC$上，以$CE$为直径的$\odot O$经过$AB$上的点$D$，与$OB$交于点$F$，且$BD = BC$.
（1）求证：$AB$是$\odot O$的切线；
（2）若$AD = \sqrt{3}$，$AE = 1$，求$\overset{\frown}{CF}$的长.
　　　　

答案：
(1) 连接$OD$. 在$\triangle OBD$和$\triangle OBC$中,$\begin{cases}BD = BC,\\OD = OC,\\OB = OB,\end{cases}$
$\therefore\triangle OBD\cong\triangle OBC$.$\therefore\angle ODB=\angle OCB = 90^{\circ}$.$\therefore OD\perp AB$.
$\because OD$是$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线
(2) 设$\odot O$的半径为$R$,则$OD = R,AO=AE + OE=1 + R$.$\because$在$Rt\triangle OAD$中,$AD^{2}+OD^{2}=AO^{2},AD=\sqrt{3}$,$\therefore(\sqrt{3})^{2}+R^{2}=(1 + R)^{2}$,解得$R = 1$.$\therefore OD = 1$.$\therefore\tan\angle AOD=\frac{AD}{OD}=\sqrt{3}$.$\therefore\angle AOD = 60^{\circ}$.
$\therefore\angle COD=180^{\circ}-\angle AOD = 120^{\circ}$.由
(1),知$\triangle OBD\cong\triangle OBC$,
$\therefore\angle BOD=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle COD = 60^{\circ}$.$\therefore\overset{\frown}{CF}$的长$=\frac{60\pi\times1}{180}=\frac{\pi}{3}$