《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

12.（2024·资阳）已知二次函数$y = - \frac{1}{2}x^2 + bx$与$y = \frac{1}{2}x^2 - bx$的图像均过点$A(4,0)$和坐标原点$O$，这两个函数在$0\leq x\leq4$时形成的封闭图像如图所示，$P$为线段$OA$的中点，过点$P$且与$x$轴不重合的直线与封闭图像交于$B$、$C$两点. 给出下列结论：①$b = 2$；②$PB = PC$；③ 以$O$、$A$、$B$、$C$为顶点的四边形可以为正方形；④ 若点$B$的横坐标为1，点$Q$在$y$轴上（$Q$、$B$、$C$三点不共线），则$\triangle BCQ$周长的最小值为$5+\sqrt{13}$. 其中，正确的个数是 （ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D

13.（2023·枣庄）二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$的图像如图所示，对称轴是直线$x = 1$. 有下列结论：①$abc＜0$；② 方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$必有一个根大于2且小于3；③ 若$(0,y_1)$、$(\frac{3}{2},y_2)$是抛物线上的两点，则$y_1＜y_2$；④$11a + 2c＞0$；⑤ 对于任意实数$m$，都有$m(am + b)\geq a + b$. 其中，正确的个数是 （ ）

A. 5
B. 4
C. 3
D. 2

答案： C

14.（2023·十堰）已知点$A(x_1,y_1)$在直线$y = 3x + 19$上，点$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$在抛物线$y = x^2 + 4x - 1$上. 若$y_1 = y_2 = y_3$，$x_1＜x_2＜x_3$，则$x_1 + x_2 + x_3$的取值范围是 （ ）
A. $-12＜x_1 + x_2 + x_3＜-9$
B. $-8＜x_1 + x_2 + x_3＜-6$
C. $-9＜x_1 + x_2 + x_3＜0$
D. $-6＜x_1 + x_2 + x_3＜1$

答案： A 解析：令 $ 3x + 19 = x^{2}+4x - 1 $，得直线与抛物线的交点的横坐标为 $ -5 $、$ 4 $。由 $ y = x^{2}+4x - 1=(x + 2)^{2}-5 $，得抛物线开口向上，对称轴为直线 $ x = -2 $，顶点坐标为 $ (-2,-5) $。把 $ y = -5 $ 代入 $ y = 3x + 19 $，解得 $ x = -8 $。若 $ y_{1}=y_{2}=y_{3} $，$ x_{1}＜x_{2}＜x_{3} $，观察图像，得 $ -8 ＜ x_{1}＜ -5 $，$ x_{2}+x_{3}=-4 $，$ \therefore -12 ＜ x_{1}+x_{2}+x_{3}＜ -9 $。

15. 如图，抛物线$y = x^2 + 1$与双曲线$y = \frac{k}{x}$的交点$A$的横坐标是1，则关于$x$的不等式$\frac{k}{x}+x^2 + 1＜0$的解集是 （ ）

A. $x＞1$
B. $x＜-1$
C. $0＜x＜1$
D. $-1＜x＜0$

答案： D

16. 若二次函数$y = x^2 - 2x - 3$的图像上有且只有三个点到$x$轴的距离等于$m$，则$m$的值为________.

答案： 4 解析：根据题意，题中的“三个点”必定有一个是抛物线的顶点。$ \because y = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4 $，$ \therefore $ 顶点 $ (1,-4) $ 到 $ x $ 轴的距离为 4。$ \therefore $ 另外两个点是直线 $ y = 4 $ 与抛物线的交点。$ \therefore m = 4 $。

17. 对于任意实数$a$，抛物线$y = x^2 + 2ax + a + b$与$x$轴都有公共点，则$b$的取值范围是________.

答案： $ b\leqslant-\frac{1}{4} $ 解析：$ \because $ 对于任意实数 $ a $，抛物线 $ y = x^{2}+2ax + a + b $ 与 $ x $ 轴都有公共点，$ \therefore (2a)^{2}-4(a + b)\geqslant0 $。整理，得 $ b\leqslant a^{2}-a $。$ \because a^{2}-a=(a-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4} $，$ \therefore a^{2}-a $ 的最小值为 $ -\frac{1}{4} $。$ \therefore b\leqslant-\frac{1}{4} $。

18.（2023·福建）已知抛物线$y = ax^2 - 2ax + b(a＞0)$经过$A(2n + 3,y_1)$、$B(n - 1,y_2)$两点. 若点$A$、$B$分别位于抛物线对称轴的两侧，且$y_1＜y_2$，则$n$的取值范围是________.

答案： $ -1 ＜ n ＜ 0 $ 解析：根据题意，得抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $。① 若点 $ A $ 在对称轴直线 $ x = 1 $ 的左侧，点 $ B $ 在对称轴直线 $ x = 1 $ 的右侧，由题意，得 $ \begin{cases}2n + 3 ＜ 1,\\n - 1 ＞ 1,\\1-(2n + 3)＜n - 1 - 1,\end{cases} $ 该不等式组无解；② 若点 $ B $ 在对称轴直线 $ x = 1 $ 的左侧，点 $ A $ 在对称轴直线 $ x = 1 $ 的右侧，由题意，得 $ \begin{cases}2n + 3 ＞ 1,\\n - 1 ＜ 1,\\1-(n - 1)＞2n + 3 - 1,\end{cases} $ 解得 $ -1 ＜ n ＜ 0 $。$ \therefore n $ 的取值范围是 $ -1 ＜ n ＜ 0 $。

19.（2024·大庆）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国. 某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第$x$天（$1\leq x\leq30$且$x$为整数）的售价为$y$元/千克，当$1\leq x\leq20$时，$y = kx + b$；当$20＜x\leq30$时，$y = 15$. 销量$z$（千克）与$x$的函数表达式为$z = x + 10$，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第$x$天的销售额为$M$元.
（1）$k =$________，$b =$________；
（2）写出第$x$天的销售额$M$与$x$之间的函数表达式；
（3）在试销售的30天中，共有多少天的销售额超过500元？

答案：
(1) $ -1 $ 30
(2) 当 $ 1\leqslant x\leqslant20 $ 时，由
(1)，知 $ y = -x + 30 $，此时 $ M=(x + 10)(-x + 30)=-x^{2}+20x + 300 $。当 $ 20 ＜ x\leqslant30 $ 时，$ M = 15(x + 10)=15x + 150 $。$ \therefore $ 第 $ x $ 天的销售额 $ M $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ M=\begin{cases}-x^{2}+20x + 300(1\leqslant x\leqslant20),\\15x + 150(20 ＜ x\leqslant30)\end{cases} $
(3) 当 $ 1\leqslant x\leqslant20 $ 时，$ M=-x^{2}+20x + 300=-(x - 10)^{2}+400 $。$ \because -1 ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ x = 10 $ 时，$ M $ 取最大值，为 400。显然销售额不超过 500 元。当 $ 20 ＜ x\leqslant30 $ 时，由 $ 15x + 150 ＞ 500 $，得 $ x ＞ 23\frac{1}{3} $。$ \therefore $ 共有 7 天(第 24～30 天)的销售额超过 500 元