《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

1. 关于二次函数$y=(x - 1)^2 + 5$，下列说法中正确的是 （ ）
A. 函数图像的开口向下
B. 函数图像的顶点坐标是$(-1,5)$
C. 该函数有最大值，最大值是5
D. 当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大

答案： D

2.（2023·陕西）在平面直角坐标系中，二次函数$y = x^2 + mx + m^2 - m$（$m$为常数）的图像经过点$(0,6)$，其对称轴在$y$轴的左侧，则该二次函数有 （ ）
A. 最大值5
B. 最大值$\frac{15}{4}$
C. 最小值5
D. 最小值$\frac{15}{4}$

答案： D

3.（1）抛物线$y = - 3x^2 + 6x + 2$的对称轴是____________；

答案：
(1) 直线 $ x = 1 $

（2）（2024·滨州）将抛物线$y = - x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________；

答案：
(2) $ (1,2) $

（3）如图所示为二次函数$y = x^2 + bx + c$的图像，该函数的最小值是_______.

答案：
(3) $ -4 $

4.（2024·北京）在平面直角坐标系中，已知抛物线$y = ax^2 - 2a^2x(a\neq0)$。
（1）当$a = 1$时，抛物线的顶点坐标为________.

答案：
(1) $ (1,-1) $

（2）已知$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$是抛物线上的两点. 若对于$x_1 = 3a$，$3\leq x_2\leq4$，都有$y_1＜y_2$，则$a$的取值范围是____________.

答案：
(2) $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 或 $ a ＜ -4 $

5.（2024·兴安盟改编）如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$的图像经过原点和点$A(4,0)$。经过点$A$的直线与该二次函数图像交于点$B(1,3)$，与$y$轴交于点$C$.
（1）求二次函数的表达式及点$C$的坐标.
（2）$P$是二次函数图像上的一个动点，当点$P$在直线$AB$上方时，过点$P$作$PE\perp x$轴于点$E$，与直线$AB$交于点$D$，设点$P$的横坐标为$m$. 当$m$为何值时，线段$PD$的长最大？并求出最大值.

答案：
(1) $ \because $ 二次函数的图像经过点 $ O(0,0) $、$ A(4,0) $、$ B(1,3) $，
$ \therefore $ 将三点的坐标代入 $ y = ax^{2}+bx + c $，得 $ \begin{cases}0 = c,\\0 = 16a + 4b + c,\\3 = a + b + c,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a = -1,\\b = 4,\\c = 0.\end{cases} $ $ \therefore $ 二次函数的表达式为 $ y = -x^{2}+4x $。$ \because $ 直线经过 $ A $、$ B $ 两点，$ \therefore $ 设直线 $ AB $ 对应的函数表达式为 $ y = kx + n $。将 $ A(4,0) $、$ B(1,3) $ 代入，得 $ \begin{cases}0 = 4k + n,\\3 = k + n,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}k = -1,\\n = 4.\end{cases} $ $ \therefore $ 直线 $ AB $ 对应的函数表达式为 $ y = -x + 4 $。令 $ x = 0 $，则 $ y = 4 $。$ \therefore C(0,4) $
(2) $ \because $ 点 $ P $ 在直线 $ AB $ 上方，$ \therefore 1 ＜ m ＜ 4 $。由题意，得 $ P(m,-m^{2}+4m) $、$ D(m,-m + 4) $。$ \therefore PD = y_{P}-y_{D}=-m^{2}+4m + m - 4=-m^{2}+5m - 4=-(m-\frac{5}{2})^{2}+\frac{9}{4} $。$ \because -1 ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ m = \frac{5}{2} $ 时，$ PD $ 的长取得最大值，最大值为 $ \frac{9}{4} $