《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

10. (2023·上海)在平面直角坐标系中，已知直线$y=\frac{3}{4}x + 6$与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段AB上，以C为顶点的抛物线M：$y=ax^{2}+bx + c$经过点B.
（1）求b、c的值.
（2）平移抛物线M至N，点C、B分别平移至点P、D，连接CD，且$CD// x$轴. 若点P在x轴上，且新抛物线过点B，则抛物线N对应的函数表达式为____________________.

答案：
(1) 在$y=\frac{3}{4}x + 6$中，令$x = 0$，则$y = 6$；令$y = 0$，则$x=-8$.$\therefore A(-8,0)$、$B(0,6)$. 设$C(m,\frac{3}{4}m + 6)$，则抛物线$M$可表示为$y = a(x - m)^{2}+\frac{3}{4}m + 6$.$\because$抛物线$M$经过点$B$，$\therefore am^{2}+\frac{3}{4}m + 6 = 6$，且$m\neq0$.$\therefore am = -\frac{3}{4}$，即$m = -\frac{3}{4a}$. 将$m = -\frac{3}{4a}$代入$y = a(x - m)^{2}+\frac{3}{4}m + 6$，整理，得$y = ax^{2}+\frac{3}{2}x + 6$，$\therefore b=\frac{3}{2}$，$c = 6$
(2) $y=\frac{3}{16}(x - 4\sqrt{2})^{2}$或$y=\frac{3}{16}(x + 4\sqrt{2})^{2}$ 解析：设$P(p,0)$、$C(m,\frac{3}{4}m + 6)$.$\because CD// x$轴，点$P$在$x$轴上，点$C$、$B$分别平移至点$P$、$D$，$\therefore$点$B$、$C$向下平移的距离相同.$\therefore\frac{3}{4}m + 6 = 6-(\frac{3}{4}m + 6)$，解得$m=-4$. 由
(1)，可知$m = -\frac{3}{4a}$，$\therefore a=\frac{3}{16}$. 此时抛物线$N$对应的函数表达式为$y=\frac{3}{16}(x - p)^{2}$. 将$B(0,6)$代入，得$p=\pm4\sqrt{2}$.$\therefore$抛物线$N$对应的函数表达式为$y=\frac{3}{16}(x - 4\sqrt{2})^{2}$或$y=\frac{3}{16}(x + 4\sqrt{2})^{2}$.

11. 如图，抛物线$y=(x - 1)^{2}+k$与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C(0，-3). P为抛物线上一点，横坐标为m，且$m＞0$.
（1）求此抛物线对应的函数表达式.
（2）当点P位于x轴的下方时，求$\triangle ABP$面积的最大值.
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h.
① 求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
② 当$h = 9$时，$\triangle BCP$的面积为________.

答案：
(1) 把$C(0,-3)$代入$y=(x - 1)^{2}+k$，得$k=-4$，$\therefore$此抛物线对应的函数表达式为$y=(x - 1)^{2}-4$，即$y = x^{2}-2x - 3$
(2) 在$y = x^{2}-2x - 3$中，令$y = 0$，则$x=-1$或$x = 3$.$\therefore$易得$A(-1,0)$、$B(3,0)$.$\therefore AB = 4$.$\because P$为抛物线上一点，横坐标为$m$，$m＞0$，点$P$位于$x$轴的下方，$\therefore$点$P$的坐标为$(m,m^{2}-2m - 3)$，$0\lt m\lt3$.$\therefore S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot(-y_{P})=\frac{1}{2}\times4\times[-(m^{2}-2m - 3)]=-2m^{2}+4m + 6=-2(m - 1)^{2}+8$，$0\lt m\lt3$.$\because -2\lt0$，$\therefore$当$m = 1$时，$S_{\triangle ABP}$取得最大值，最大值为$8$
(3) 由$y=(x - 1)^{2}-4$，得抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$. ① 当$0\lt m\leqslant1$时，$h=-3-(m^{2}-2m - 3)=-m^{2}+2m$；当$1\lt m\leqslant2$时，$h=-3-(-4)=1$；当$m＞2$时，$h=m^{2}-2m - 3-(-4)=m^{2}-2m + 1$. 综上所述，$h=\begin{cases}-m^{2}+2m(0\lt m\leqslant1),\\1(1\lt m\leqslant2),\\m^{2}-2m + 1(m＞2)\end{cases}$
② 6 解析：当$h = 9$时，若$-m^{2}+2m = 9$，即$m^{2}-2m + 9 = 0$，此时$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times1\times9=-32\lt0$，无解；若$m^{2}-2m + 1 = 9$，则$m_{1}=4$，$m_{2}=-2$（不合题意，舍去），此时点$P$的坐标为$(4,5)$.$\because B(3,0)$、$C(0,-3)$，$\therefore S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}\times8\times4-\frac{1}{2}\times5\times1-\frac{1}{2}\times(4 + 1)\times3 = 6$.