《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

6. （2024·威海）如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF，EF交AC于点G. 下列结论错误的是（ ）
A. 若$\frac{CE}{CF}=\frac{AD}{AB}$，则EF//BD
B. 若AE⊥BC，AF⊥CD，AE = AF，则EF//BD
C. 若EF//BD，CE = CF，则∠EAC = ∠FAC
D. 若AB = AD，AE = AF，则EF//BD
　　　　　 　　　　　 　　　　　

答案： D

7. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC = $\sqrt{3}$AB = 3BD，则AD：AC的值为_______.

答案： $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

8. （2023·徐州）如图，在△ABC中，∠B = 90°，∠A = 30°，BC = 2，D为AB的中点. 若点E在边AC上，且$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，则AE的长为_______.

答案： 1或2

9. 如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？请说明理由.
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.
　　　　

答案：
(1)当 $ AC $、$ CD $、$ DB $ 满足 $ CD^{2} = AC \cdot DB $ 时，$ \triangle ACP \sim \triangle PDB $ 理由：$ \because \triangle PCD $ 是等边三角形，$ \therefore \angle PCD = \angle PDC = 60^{\circ} $，$ PD = CD = CP $. $ \therefore \angle ACP = \angle PDB = 120^{\circ} $. $ \therefore $ 当 $ \frac{AC}{PD} = \frac{CP}{DB} $，即 $ \frac{AC}{CD} = \frac{CD}{DB} $ 时，$ \triangle ACP \sim \triangle PDB $. $ \therefore $ 当 $ CD^{2} = AC \cdot DB $ 时，$ \triangle ACP \sim \triangle PDB $.
(2) $ \because \triangle ACP \sim \triangle PDB $，$ \therefore \angle A = \angle BPD $. $ \because \triangle PCD $ 是等边三角形，$ \therefore \angle CPD = \angle DCP = 60^{\circ} $. $ \therefore \angle APB = \angle APC + \angle CPD + \angle BPD = \angle APC + \angle CPD + \angle A = \angle DCP + \angle CPD = 120^{\circ} $

10. （2024·武汉改编）如图，在矩形ABCD中，AB = 3 cm，BC = 6 cm. 某一时刻，动点M从点A出发，沿AB方向以1 cm/s的速度向点B运动；同时动点N从点D出发，沿DA方向以2 cm/s的速度向点A运动. 当运动时间为多少秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？
　　　　

答案： 根据题意，得 $ AD = BC = 6 \text{ cm} $，$ CD = AB = 3 \text{ cm} $，$ \angle D = \angle MAN = 90^{\circ} $. 设运动时间为 $ t \text{ s} $，则 $ MA = t \text{ cm} $，$ NA = (6 - 2t) \text{ cm} $. 分两种情况讨论：① 当 $ \triangle ACD \sim \triangle MNA $ 时，$ \frac{AD}{MA} = \frac{CD}{NA} $，$ \therefore \frac{6}{t} = \frac{3}{6 - 2t} $，解得 $ t = 2.4 $. ② 当 $ \triangle ACD \sim \triangle NMA $ 时，$ \frac{AD}{NA} = \frac{CD}{MA} $，$ \therefore \frac{6}{6 - 2t} = \frac{3}{t} $，解得 $ t = 1.5 $. 综上所述，当运动时间为 $ 2.4 \text{ s} $ 或 $ 1.5 \text{ s} $ 时，以 $ A $、$ M $、$ N $ 为顶点的三角形与 $ \triangle ACD $ 相似