《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

1. 抛物线$y = x^{2}+3$上有两点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$。若$y_{1}＜y_{2}$，则下列结论正确的是 （ ）
A. $0\leqslant x_{1}＜x_{2}$
B. $x_{2}＜x_{1}\leqslant0$
C. $x_{2}＜x_{1}\leqslant0$或$0\leqslant x_{1}＜x_{2}$
D. 以上都不对

答案： D

2. 已知抛物线$y = x^{2}+mx$的对称轴为直线$x = 2$，则关于$x$的方程$x^{2}+mx = 5$的根是 （ ）
A. $x_{1}=0$，$x_{2}=4$
B. $x_{1}=1$，$x_{2}=5$
C. $x_{1}=1$，$x_{2}=-5$
D. $x_{1}=-1$，$x_{2}=5$

答案： D

3. 一次函数$y = ax + b$的图像如图所示，则二次函数$y = ax^{2}+bx$的图像可能是 （ ）

答案： D

4. （2024·湖北）已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a\neq0$）的顶点坐标为$(-1,-2)$，与$y$轴的交点在$x$轴的上方，下列结论正确的是 （ ）
A. $a＜0$
B. $c＜0$
C. $a - b + c = -2$
D. $b^{2}-4ac = 0$

答案： C

5. （2024·福建）已知二次函数$y = x^{2}-2ax + a$（$a\neq0$）的图像经过$A(\frac{a}{2},y_{1})$、$B(3a,y_{2})$两点，则下列判断正确的是 （ ）
A. 可以找到一个实数$a$，使得$y_{1}＞a$
B. 无论实数$a$取什么值，都有$y_{1}＞a$
C. 可以找到一个实数$a$，使得$y_{2}＜0$
D. 无论实数$a$取什么值，都有$y_{2}＜0$

答案： C 解析：把$A(\frac{a}{2},y_1)$代入$y = x^2 - 2ax + a(a \neq 0)$，得$y_1 = (\frac{a}{2})^2 - 2a \times \frac{a}{2} + a = -\frac{3}{4}a^2 + a$，即$y_1 - a = -\frac{3}{4}a^2$。$\because a \neq 0$，$\therefore -\frac{3}{4}a^2 ＜ 0$。$\therefore y_1 - a ＜ 0$，即无论实数$a(a \neq 0)$取什么值，都有$y_1 ＜ a$。$\therefore$选项A、B均错误。把$B(3a,y_2)$代入$y = x^2 - 2ax + a(a \neq 0)$，得$y_2 = (3a)^2 - 2a \times 3a + a = 3a^2 + a = 3(a + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} \geq -\frac{1}{12}$，即$y_2$可以是正数、0、负数。$\therefore$可以找到一个实数$a$，使得$y_2 ＜ 0$。$\therefore$选项D错误，选项C正确。

6. 已知二次函数$y = 2x^{2}-8x + 6$的图像交$x$轴于$A$、$B$两点. 若其图像上有且只有$P_{1}$、$P_{2}$、$P_{3}$三点满足$S_{\triangle ABP_{1}}=S_{\triangle ABP_{2}}=S_{\triangle ABP_{3}}=m$，则$m$的值是 （ ）
A. 1
B. $\frac{3}{2}$
C. 2
D. 4

答案： C 解析：根据题意，得$P_1$、$P_2$、$P_3$三点中必有一点是抛物线$y = 2x^2 - 8x + 6$的顶点，通过求解二次函数图像的顶点坐标及与$x$轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可求出$m$的值。

7. 若二次函数$y = ax^{2}+2$的图像经过$P(1,3)$、$Q(m,n)$两点，则代数式$n^{2}-4m^{2}-4n + 9$的最小值为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： A 解析：$\because$二次函数$y = ax^2 + 2$的图像经过点$P(1,3)$，$\therefore a = 1$。$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^2 + 2$。$\because$点$Q(m,n)$在二次函数$y = x^2 + 2$的图像上，$\therefore n = m^2 + 2$。$\therefore n^2 - 4m^2 - 4n + 9 = (m^2 + 2)^2 - 4m^2 - 4(m^2 + 2) + 9 = m^4 - 4m^2 + 5 = (m^2 - 2)^2 + 1$。$\because (m^2 - 2)^2 \geq 0$，$\therefore n^2 - 4m^2 - 4n + 9$的最小值为1。

8. （2023·自贡）经过$A(2 - 3b,m)$、$B(4b + c - 1,m)$两点的抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+bx - b^{2}+2c$（$x$为自变量）与$x$轴有交点，则线段$AB$的长为 （ ）
A. 10
B. 12
C. 13
D. 15

答案： B

9. 函数$y = -2x^{2}$的图像可以看成由函数$y = 2x^{2}$的图像绕______至少旋转______得到的.

答案： 原点 180°

10. 已知二次函数$y = a(x + h)^{2}+3$，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大，则$a$______0，$h$的值为______.

答案： ＜ -2

11. 将抛物线$y = x^{2}-2x + 3$向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标是______.

答案： (3,5)