《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

1.（2024·天津）$\sqrt{2}\cos 45^{\circ}-1$的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}-1$
D. $\sqrt{2}-1$

答案： A

2.（2023·杭州）如图，矩形$ABCD$的对角线$AC、BD$相交于点$O$. 若$\angle AOB = 60^{\circ}$，则$\frac{AB}{BC}$的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
　　 　　　　　　　　

答案： D

3. 在$\triangle ABC$中，$\angle A、\angle B、\angle C$的度数之比为$1:2:3$，则$\sin B$的值为_______.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

4. 如图，直线$MN$与$\odot O$相切于点$M$，$ME = EF$，且$EF// MN$，则$\cos E$的值为_______.

答案： $\frac{1}{2}$

5.（2024·长沙改编）计算：$2\tan 60^{\circ}-\vert 2\cos 30^{\circ}-2\tan 45^{\circ}\vert - 6\sin^{2}45^{\circ}+(\frac{3}{5})^{-2}$.

答案： 原式$=2\times\sqrt{3}-\left|2\times\frac{\sqrt{3}}{2}-2\times1\right|-6\times\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\frac{25}{9}=2\sqrt{3}-2+\sqrt{3}-3+\frac{25}{9}=3\sqrt{3}-\frac{20}{9}$

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，$AC = \sqrt{6}$. 求$BC$与$AB$的长.
　　　

答案： 过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$.$\because\angle A = 30^{\circ},AC=\sqrt{6},\cos A = \cos30^{\circ}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.$\because\sin A=\sin30^{\circ}=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$,$\therefore CD=\frac{\sqrt{6}}{2}$.$\because\tan B=\tan45^{\circ}=\frac{CD}{BD}=1,\therefore BD=\frac{\sqrt{6}}{2}$.$\therefore AB = AD + BD=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$.在$Rt\triangle BCD$中,由勾股定理,得$BC=\sqrt{CD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{3}$

7.（2024·南充）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$BC = 6$，$AD$平分$\angle CAB$交$BC$于点$D$，$E$为边$AB$上一点，则线段$DE$长的最小值为（ ）
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. 2
D. 3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： C