《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

1. 如图，△ABC的底边BC上的高为h₁，△PQR的底边QR上的高为h₂，则有 （ ）
A. h₁=h₂ B. h₁＜h₂ C. h₁＞h₂ D. 以上都有可能
　　　　

答案： A

2. （2024·海南）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A按顺时针方向旋转，点C落在数轴上的点E处. 若点E表示的数是3，则点A表示的数是 （ ）
A. 1 B. 1 - √3 C. 0 D. 3 - 2√3
　　　　

答案： D

3. （2023·济宁）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D、E在边BC上. 若∠DAE=30°，tan∠EAC = 1/3，则BD的长为_______.
　　　　

答案： $3 - \sqrt{3}$

4. 如图，在四边形ABCD中，AB = 2，CD = 1，∠B = ∠D = 90°，∠A = 60°，则四边形ABCD的面积为_______.
　　　　

答案： $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 解析：延长 $AD$、$BC$ 交于点 $E$。$\because \angle B = 90^{\circ}, \angle A = 60^{\circ}, AB = 2$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle ABE$ 中，$\angle E = 90^{\circ} - \angle A = 30^{\circ}, AE = \frac{AB}{\cos 60^{\circ}} = 4$。$\because \angle CDE = 90^{\circ}, \angle E = 30^{\circ}, CD = 1$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle CDE$ 中，$CE = \frac{CD}{\sin 30^{\circ}} = 2$。在 $Rt\triangle ABE$ 中，由勾股定理，得 $BE = \sqrt{AE^{2} - AB^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{3}$。在 $Rt\triangle CDE$ 中，由勾股定理，得 $DE = \sqrt{CE^{2} - CD^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$。$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABE} - S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2 - \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB = 17，CD = 10，∠A = 90°，cos B = 3/5，求AD的长.
　　　

答案： 延长 $AD$、$BC$ 交于点 $E$。$\because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$\therefore \angle B + \angle ADC = 180^{\circ}, \angle A + \angle BCD = 180^{\circ}$。$\because \angle A = 90^{\circ}, \angle ADC + \angle EDC = 180^{\circ}, \angle ECD + \angle BCD = 180^{\circ}$，$\therefore \angle ECD = \angle A = 90^{\circ}, \angle B = \angle EDC$。$\because \cos B = \frac{3}{5}$，$\therefore \cos \angle EDC = \frac{3}{5}$。$\because$ 在 $Rt\triangle ECD$ 中，$\cos \angle EDC = \frac{CD}{ED}, CD = 10$，$\therefore ED = \frac{50}{3}$。$\because$ 在 $Rt\triangle EAB$ 中，$\cos B = \frac{AB}{BE} = \frac{3}{5}, AB = 17$，$\therefore BE = \frac{85}{3}$。$\therefore$ 由勾股定理，得 $AE = \sqrt{BE^{2} - AB^{2}} = \frac{68}{3}$。$\therefore AD = AE - ED = \frac{68}{3} - \frac{50}{3} = 6$

6. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，点D在AB的延长线上，连接CD. 若AB = 2BD，tan∠BCD = 2/3，则AC/BC的值为_______.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 2 解析：过点 $D$ 作 $DM \perp BC$，交 $CB$ 的延长线于点 $M$。由 $\tan \angle BCD = \frac{2}{3} = \frac{DM}{CM}$，设 $DM = 2k(k ＞ 0)$，则 $CM = 3k$。证 $\triangle DBM \sim \triangle ABC$，得 $\frac{BD}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{DM}{AC} = \frac{1}{2}$，$\therefore$ 易得 $BC = 2k, AC = 4k$，则 $\frac{AC}{BC} = \frac{4k}{2k} = 2$。