《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

6. 如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍. 设点B的横坐标是a，则点B的对应点B'的横坐标是 （ ）
A. -2a+3 B. -2a+1 C. -2a+2 D. -2a-2
　　　　　　　　　　

答案： A 解析：根据题意，得$\frac{BC}{B'C}=\frac{1}{2}$. 分别过点$B$、$B'$作$BD\perp x$轴、$B'E\perp x$轴，垂足分别为$D$、$E$. $\because$点$C$的坐标是$(1,0)$，点$B$的横坐标是$a$，$\therefore CD = a - 1$. 证$\triangle BDC\backsim\triangle B'EC$，得$\frac{CD}{CE}=\frac{BC}{B'C}=\frac{1}{2}$. $\therefore CE = 2(a - 1)$. $\therefore OE = 2(a - 1) - 1 = 2a - 3$. $\therefore$易得点$B$的对应点$B'$的横坐标是$-2a + 3$.

7.（2023·遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形. 在如图所示的平面直角坐标系中，格点三角形ABC与格点三角形DEF成位似关系，则位似中心的坐标为________.
　　　　　　　　　　

答案： $(-1,0)$

8. 在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A(2，1)、B(2，0)、O(0，0). 若以原点O为位似中心，把△AOB按相似比2∶1放大，则点A的对应点的坐标为________________.

答案： $(4,2)$或$(-4,-2)$

9. 如图①，E是线段BC的中点，分别以B、C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在线段BC的同侧.
（1）AE和ED的数量关系为________，AE和ED的位置关系为________.
（2）以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是BC所在直线上的一点，连接GH、HD，分别得到图②和图③.
① 在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比为$\frac{1}{2}$，H是EC的中点. 求证：GH=HD，且GH⊥HD.
② 在图③中，点H在BC的延长线上，△EGF与△EAB的相似比为k. 若BC=2，请直接写出当CH的长为多少时，恰好使得GH=HD，且GH⊥HD（用含k的代数式表示）.
　　　　　　　　　　

答案：
(1) $AE = ED$ $AE\perp ED$
(2) ① 根据题意，得$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$，$AB = BE = EC = DC$. $\because\triangle EGF$与$\triangle EAB$位似，且相似比为$\frac{1}{2}$，$\therefore\angle GFE = \angle B = 90^{\circ}$，$GF = \frac{1}{2}AB$，$EF = \frac{1}{2}BE$. $\therefore\angle GFE = \angle C$. $\because H$是$EC$的中点，$\therefore EH = HC = \frac{1}{2}EC$. $\therefore GF = HC$，$FH = EF + EH = \frac{1}{2}BE + \frac{1}{2}EC = EC = CD$. $\therefore\triangle HGF\cong\triangle DHC$. $\therefore GH = HD$，$\angle GHF = \angle HDC$. 由题意，得$\angle HDC + \angle DHC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle GHF + \angle DHC = 90^{\circ}$. $\therefore\angle GHD = 180^{\circ}-(\angle GHF + \angle DHC)=90^{\circ}$，即$GH\perp HD$. $\therefore GH = HD$，且$GH\perp HD$ ② 当$CH$的长为$k$时，恰好使得$GH = HD$，且$GH\perp HD$