《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

7. 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同一条直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N，连接MN. 有下列结论：
① AM = BN；② △ABF≌△DNF；③ ∠FMC + ∠FNC = 180°；④ $\frac{1}{MN}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{CE}$. 其中，正确的是________（填序号）.

答案： ①③④

8.（2024·济南）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE、BE. 当∠ACE = ∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由.

答案： $\triangle AEB$是直角三角形 理由：$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle CAB+\angle ABC = 90^{\circ}$. $\because CD\perp AB$，$\therefore \angle ADC = 90^{\circ}$. $\therefore$在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD+\angle ACD = 90^{\circ}$. $\therefore \angle ABC=\angle ACD$. $\because \angle CAB=\angle DAC$，$\therefore \triangle ABC\sim\triangle ACD$. $\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，即$AC^{2}=AD\cdot AB$. $\because \angle ACE=\angle AFC$，$\angle CAE=\angle FAC$，$\therefore \triangle AEC\sim\triangle ACF$. $\therefore \frac{AC}{AF}=\frac{AE}{AC}$，即$AC^{2}=AF\cdot AE$. $\therefore AF\cdot AE=AD\cdot AB$. $\therefore \frac{AF}{AB}=\frac{AD}{AE}$. $\because \angle FAD=\angle BAE$，$\therefore \triangle AFD\sim\triangle ABE$. $\therefore \angle ADF=\angle AEB = 90^{\circ}$. $\therefore \triangle AEB$是直角三角形.

9. AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点.
（1）如图①，求证：AB² = 4AD·BC.
（2）如图②，连接OE并延长交AM于点F，连接CF. 若∠ADE = 2∠OFC，AD = 1，则图中涂色部分的面积为________.

答案：
(1) 连接$OD$、$OC$、$OE$. $\because AM$、$BN$、$DC$是$\odot O$的切线，$\therefore OA\perp AM$，$OB\perp BN$，$OE\perp DC$，$AD = DE$，$BC = CE$. $\therefore$易得$\angle ODE=\frac{1}{2}\angle ADC$，$\angle OCE=\frac{1}{2}\angle BCD$，$AM// BN$. $\therefore \angle ADC+\angle BCD = 180^{\circ}$. $\therefore \angle ODE+\angle OCE = 90^{\circ}$. $\because OE\perp DC$，$\therefore \angle OED=\angle CEO = 90^{\circ}$. $\therefore \angle ODE+\angle DOE = 90^{\circ}$. $\therefore \angle DOE=\angle OCE$. $\therefore \triangle DOE\sim\triangle OCE$. $\therefore \frac{OE}{CE}=\frac{DE}{OE}$，即$OE^{2}=DE\cdot CE$. $\therefore OE^{2}=AD\cdot BC$. $\because AB = 2OE$，$\therefore AB^{2}=4OE^{2}$，即$AB^{2}=4AD\cdot BC$
(2) $3\sqrt{3}-\pi$