《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

20. 如图，抛物线$y = a(x + 2)(x - 6)$与$x$轴相交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$\frac{OC}{OA}=\frac{3}{2}$. 设抛物线的顶点为$M$，对称轴交$x$轴于点$N$.
（1）求抛物线对应的函数表达式.
（2）$P$为抛物线的对称轴上一点，且在线段$MN$（含端点）上运动，$Q(n,0)$为$x$轴上一点，且$PQ\perp PC$，连接$CQ$.
① 求$n$的取值范围；
② 当$n$取最大值时，求点$P$到线段$CQ$的距离；
③ 当$n$取最大值时，将线段$CQ$向上平移$t$个单位长度，使得线段$CQ$与抛物线有两个交点，求$t$的取值范围.

答案：
(1) 在 $ y = a(x + 2)(x - 6) $ 中，令 $ y = 0 $，得 $ x_{1}=-2 $，$ x_{2}=6 $。$ \therefore $ 点 $ A $ 的坐标为 $ (-2,0) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (6,0) $。$ \therefore OA = 2 $。$ \because \frac{OC}{OA}=\frac{3}{2} $，$ \therefore OC = 3 $。$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (0,3) $。把 $ C(0,3) $ 代入 $ y = a(x + 2)(x - 6) $ 中，解得 $ a = -\frac{1}{4} $，$ \therefore $ 抛物线对应的函数表达式为 $ y = -\frac{1}{4}(x + 2)(x - 6) $，即 $ y = -\frac{1}{4}x^{2}+x + 3 $
(2) ① 由
(1)，易得抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $，顶点 $ M $ 的坐标为 $ (2,4) $。设点 $ P $ 的坐标为 $ (2,m) $(其中 $ 0\leqslant m\leqslant4 $)，则 $ PC^{2}=2^{2}+(m - 3)^{2} $，$ PQ^{2}=m^{2}+(n - 2)^{2} $，$ CQ^{2}=3^{2}+n^{2} $。$ \because PQ\perp PC $，$ \therefore $ 在 $ Rt\triangle PCQ $ 中，由勾股定理，得 $ PC^{2}+PQ^{2}=CQ^{2} $，即 $ 2^{2}+(m - 3)^{2}+m^{2}+(n - 2)^{2}=3^{2}+n^{2} $。整理，得 $ n=\frac{1}{2}(m^{2}-3m + 4)=\frac{1}{2}(m-\frac{3}{2})^{2}+\frac{7}{8} $，$ 0\leqslant m\leqslant4 $。$ \because \frac{1}{2}＞0 $，$ \therefore $ 当 $ m = \frac{3}{2} $ 时，$ n $ 取得最小值，为 $ \frac{7}{8} $；当 $ m = 4 $ 时，$ n $ 取得最大值，为 4。$ \therefore n $ 的取值范围是 $ \frac{7}{8}\leqslant n\leqslant4 $ ② 由①，知当 $ n $ 取最大值 4 时，$ m = 4 $，此时 $ P(2,4) $、$ Q(4,0) $，$ \therefore PC=\sqrt{5} $，$ PQ = 2\sqrt{5} $，$ CQ = 5 $。设点 $ P $ 到线段 $ CQ $ 的距离为 $ h $。由 $ S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}CQ\cdot h=\frac{1}{2}PC\cdot PQ $，得 $ h=\frac{PC\cdot PQ}{CQ}=2 $，$ \therefore $ 点 $ P $ 到线段 $ CQ $ 的距离为 2 ③ 由②，知当 $ n $ 取最大值 4 时，点 $ Q $ 的坐标为 $ (4,0) $，$ \therefore $ 直线 $ CQ $ 对应的函数表达式为 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $。易得将线段 $ CQ $ 向上平移 $ t $ 个单位长度后其所在直线对应的函数表达式为 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 + t $。当线段 $ CQ $ 向上平移，使点 $ Q $ 恰好在抛物线上时，线段 $ CQ $ 与抛物线有两个交点，此时对应的点 $ Q' $ 的纵坐标为 $ -\frac{1}{4}\times(4 + 2)\times(4 - 6)=3 $。把 $ Q'(4,3) $ 代入 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 + t $，得 $ t = 3 $；当线段 $ CQ $ 继续向上平移，线段 $ CQ $ 与抛物线只有一个交点时，联立 $ \begin{cases}y = -\frac{1}{4}(x + 2)(x - 6),\\y = -\frac{3}{4}x + 3 + t,\end{cases} $ 得 $ x^{2}-7x + 4t = 0 $，由根的判别式 $ b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4\times1\times4t = 49 - 16t = 0 $，得 $ t=\frac{49}{16} $。综上所述，当线段 $ CQ $ 与抛物线有两个交点时，$ t $ 的取值范围是 $ 3\leqslant t ＜ \frac{49}{16} $