《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

9. （2023·巴中）规定：如果两个函数的图像关于$y$轴对称，那么称这两个函数互为“$Y$函数”. 若函数$y=\frac{k}{4}x^{2}+(k - 1)x + k - 3$的图像与$x$轴只有一个交点，则它的“$Y$函数”的图像与$x$轴的交点坐标为___________.

答案： $(3,0)$或$(4,0)$

10. 在平面直角坐标系中，已知$A(-1,m)$和$B(5,m)$是抛物线$y = x^{2}+bx + 1$上的两点，将抛物线$y = x^{2}+bx + 1$向上平移$n$（$n$是正整数）个单位长度，使平移后的图像与$x$轴没有交点，则$n$的最小值为________.

答案： 4

11. 已知二次函数$y = ax^{2}+(2a + 1)x + 2(a＜0)$.
（1）求证：该二次函数的图像与$x$轴有两个交点；
（2）当该二次函数的图像与$x$轴的两个交点的横坐标均为整数，且$a$为负整数时，求$a$的值及该二次函数的表达式，并画出该二次函数的图像[不用列表，只要求用其与$x$轴的两个交点$A$、$B$（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴的交点$C$及其顶点$D$，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像，同时标出点$A$、$B$、$C$、$D$的位置].

答案：
（1）$y = ax^{2}+(2a + 1)x + 2=(x + 2)(ax + 1)$，且$a＜0$。令$y = 0$，得$x_{1}=-2$，$x_{2}=-\frac{1}{a}$。$\because a＜0$，$\therefore -\frac{1}{a}＞0$，即$-\frac{1}{a}\neq -2$。$\therefore$二次函数的图像与$x$轴的交点坐标为$(-2,0)$、$(-\frac{1}{a},0)$，即该二次函数的图像与$x$轴有两个交点 （2）$\because$该二次函数的图像与$x$轴的两个交点的横坐标均为整数，且$a$为负整数，$\therefore$易得$a=-1$。$\therefore$该二次函数的图像与$x$轴的两个交点$A$、$B$的坐标分别为$(-2,0)$、$(1,0)$，此时该二次函数的表达式为$y=-x^{2}-x + 2=-(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}$。$\therefore$其图像的顶点$D$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{9}{4})$。令$x = 0$，则$y = 2$，即该二次函数的图像与$y$轴的交点$C$的坐标为$(0,2)$。函数图像如图所示

12. （2024·通辽）如图，在平面直角坐标系中，直线$y = -\frac{3}{2}x + 3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$C$、$D$，抛物线$y = -\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+k$（$k$为常数）经过点$D$且交$x$轴于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$的左侧）.
（1）求抛物线对应的函数表达式.
（2）若$P$为抛物线的顶点，连接$AD$、$DP$、$CP$. 求四边形$ACPD$的面积.

答案： （1）在$y=-\frac{3}{2}x + 3$中，令$x = 0$，则$y = 3$。$\therefore D(0,3)$。$\therefore OD = 3$。$\because$抛物线$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+k$经过点$D(0,3)$，$\therefore 3=-\frac{1}{4}\times(0 - 2)^{2}+k$，解得$k = 4$。$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+4$ （2）连接$OP$。在$y=-\frac{3}{2}x + 3$中，令$y = 0$，则$x = 2$。$\therefore C(2,0)$。$\therefore OC = 2$。在$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+4$中，令$y = 0$，则$0=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+4$，解得$x = 6$或$x=-2$。$\therefore A(-2,0)$。$\therefore OA = 2$。由$y=-\frac{1}{4}(x - 2)^{2}+4$，可得抛物线的顶点$P$的坐标为$(2,4)$，即点$P$到$x$轴与$y$轴的距离分别为4和2。$\therefore S_{四边形ACPD}=S_{\triangle AOD}+S_{\triangle POD}+S_{\triangle POC}=\frac{1}{2}\times2\times3+\frac{1}{2}\times3\times2+\frac{1}{2}\times2\times4=3 + 3+4 = 10$