《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

1. 某停车场入口栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置，AO = a. 若栏杆的旋转角为∠AOD = 41°，则栏杆端点A上升的垂直距离为 （ ）
A. a sin 41° B. a cos 41° C. $\frac{a}{\sin 41^{\circ}}$ D. a tan 41°
　　　　　　　

答案： A

2. 如图所示为一个小孩荡秋千的示意图，秋千链子OA的长度为2 m，当秋千向两边摆动时，两边摆动的角度均为30°，则秋千摆动至最高位置与最低位置时的高度差为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$ m B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$ m C. （2 - $\sqrt{2}$）m D. （2 - $\sqrt{3}$）m
　　　　　

答案： D

3. （2024·兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置. 如图，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA = 64°，BD = 20.5 cm；当摆球摆动至点C时，∠COA = 37°，CE⊥OA. 由此可得ED的长约为________ cm（精确到0.1 cm，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05）.
　　　　　

答案： 8.2

4. 湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片. 小文同学依据黄金分割的美学设计理念，设计了截面如图所示的伞骨结构（其中$\frac{DH}{AH}$≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB = AC = 20 cm，当∠BAC = 120°时，伞完全打开，此时∠BDC = 90°. 请问最少需要准备多长的伞柄（结果保留整数，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732）？
　　　

答案： 过点B作BE⊥AH于点E.
∵∠BAC = 120°，AH平分∠BAC，
∴∠BAE = ∠CAD = 60°.
∴在Rt△AEB中，AE = AB·cos60° = 20×$\frac{1}{2}$ = 10(cm)，BE = AB·sin60° = 20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 10$\sqrt{3}$(cm).
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD.
∴∠ADB = ∠ADC = $\frac{1}{2}$∠BDC = 45°.
∴在Rt△BED中，DE = $\frac{BE}{tan45°}$ = 10$\sqrt{3}$cm.
∴AD = AE + DE = 10 + 10$\sqrt{3}$ ≈ 27.32(cm).
∵$\frac{DH}{AH}$ ≈ 0.618，设AH = x cm，
∴$\frac{x - 27.32}{x}$ ≈ 0.618.
∴x ≈ 72.
∴最少需要准备72 cm长的伞柄

5. 如图，某梯子长10 m，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β. 若sin α = cos β = $\frac{3}{5}$，则梯子顶端上升了 （ ）
A. 1 m B. 1.5 m C. 2 m D. 2.5 m
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： C