《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

7. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 10，点E、F在边AD上，BF和CE交于点G. 若EF = $\frac{1}{2}AD$，则图中涂色部分的面积为（ ）
A. 25
B. 30
C. 35
D. 40
　　　　　　　

答案： C

8. 如图，点G是△ABC的重心，过点G作GD//BC，交AC于点D，连接AG并延长，交BC于点F，则△AGD与△AFC对应角平分线的比为_______.
　　　　　　　

答案： $2:3$

9. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，D是边AC上的一点，过点D作DF//AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE. 若△ABE的面积是2，则$\frac{DE}{EF}$的值是_______.
　　　　　　　

答案： $\frac{3}{7}$

10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD = 5，BC = 10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，求△AEM与四边形BCME的面积比.
　　　

答案： 设AD交EM于点P. $\because$ 四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，$\therefore EF = EH = HM$，$EH// FG$，即$EM// BC$. $\because AD\perp BC$，$\therefore AP\perp EM$. 由题意，易得$PD = EF$. $\because EM// BC$，$\therefore \triangle AEM\sim\triangle ABC$. $\therefore \frac{AP}{AD}=\frac{EM}{BC}$. $\therefore \frac{5 - EF}{5}=\frac{2EF}{10}$. $\therefore EF = \frac{5}{2}$. $\therefore EM = 5$. $\because \triangle AEM\sim\triangle ABC$，$\therefore \frac{S_{\triangle AEM}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{EM}{BC})^2 = (\frac{5}{10})^2 = \frac{1}{4}$. $\therefore S_{四边形BCME}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEM}=3S_{\triangle AEM}$. $\therefore \triangle AEM$与四边形BCME的面积比为$1:3$

11. 求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求：
（1）根据如图所示的△ABC及线段A′B′、∠A′（∠A′ = ∠A），以线段A′B′为一边，在图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1) 如图，$\triangle A'B'C'$即为所求
(2) 已知：如图，$\triangle A'B'C'\sim\triangle ABC$，且相似比为$k$，D是AB的中点，$D'$是$A'B'$的中点. 求证：$\frac{C'D'}{CD}=k$. 证明：$\because$ D是AB的中点，$D'$是$A'B'$的中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$，$A'D'=\frac{1}{2}A'B'$. $\therefore \frac{A'D'}{AD}=\frac{\frac{1}{2}A'B'}{\frac{1}{2}AB}=\frac{A'B'}{AB}$. $\because \triangle A'B'C'\sim\triangle ABC$，且相似比为$k$，$\therefore \frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=k$，$\angle A'=\angle A$. $\therefore \frac{A'D'}{AD}=\frac{A'C'}{AC}$. $\therefore \triangle A'C'D'\sim\triangle ACD$. $\therefore \frac{C'D'}{CD}=\frac{A'C'}{AC}=k$. $\therefore$ 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比