《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

9. 有下列关于二次函数$y=-(x - m)^2 + m^2 + 1$（$m$为常数）的结论：① 该函数的图像与函数$y = -x^2$的图像形状相同；② 该函数的图像一定经过点（0，1）；③ 当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小；④ 该函数的图像的顶点在函数$y = x^2 + 1$的图像上. 其中，一定正确的是_______（填序号）.

答案： ①②④

10. （2023·牡丹江）将抛物线$y=(x + 3)^2$向下平移1个单位长度，再向右平移_______个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.

答案： 2 或 4

11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=a(x + 1)^2 - 3$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C(0,-\frac{8}{3})$，顶点为$D$，对称轴与$x$轴交于点$H$.
（1）求$a$的值及点$A$、$B$的坐标；
（2）连接$AD$、$DC$、$CB$，求四边形$ABCD$的面积.

答案： （1）$\because$ 抛物线 $y = a(x + 1)^2 - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $C(0,-\frac{8}{3})$，$\therefore -\frac{8}{3} = a - 3$，解得 $a = \frac{1}{3}$.$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为 $y = \frac{1}{3}(x + 1)^2 - 3$. 令 $y = 0$，则 $\frac{1}{3}(x + 1)^2 - 3 = 0$，解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -4$.$\because$ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧，$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-4,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$ （2）根据题意，得 $D(-1,-3)$，$H(-1,0)$.$\because A(-4,0)$、$B(2,0)$、$C(0,-\frac{8}{3})$，$\therefore OA = 4$，$OB = 2$，$OC = \frac{8}{3}$，$OH = 1$，$DH = 3$.$\therefore AH = OA - OH = 3$.$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ADH} + S_{梯形OCDH} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}\times3\times3 + \frac{1}{2}\times(\frac{8}{3} + 3)\times1 + \frac{1}{2}\times2\times\frac{8}{3} = 10$

12. 将抛物线$y = -x^2$平移后得到的新抛物线如图所示，它的对称轴为直线$x = 1$，与$x$轴的一个交点为$A(-1,0)$，另一个交点为$B$，与$y$轴的交点为$C$.
（1）求平移后得到的新抛物线对应的函数表达式.
（2）若$N$为新抛物线上一点，连接$BC$、$NC$，且$BC\perp NC$，则点$N$的坐标为_______.
（3）$P$是新抛物线上一点，$Q$是一次函数$y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$的图像上一点. 若四边形$OAPQ$为平行四边形，则这样的点$P$、$Q$是否存在？若存在，分别求出点$P$、$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： （1）根据题意，可设平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为 $y = -(x - 1)^2 + k$. 把 $A(-1,0)$ 代入，得 $0 = -(-1 - 1)^2 + k$，解得 $k = 4$.$\therefore$ 平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为 $y = -(x - 1)^2 + 4$，即 $y = -x^2 + 2x + 3$
（2）$(1,4)$ 解析：由题意，易知满足条件的点 $N$ 有且只有一个，且在第一象限. 过点 $N$ 作 $NH\perp y$ 轴，垂足为 $H$. 在 $y = -x^2 + 2x + 3$ 中，令 $x = 0$，则 $y = 3$，即点 $C$ 的坐标为 $(0,3)$.$\therefore OC = 3$. 令 $y = 0$，则 $0 = -x^2 + 2x + 3$，解得 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$.$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(-1,0)$，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$.$\therefore OB = 3$.$\therefore OC = OB$.$\therefore \triangle OBC$ 为等腰直角三角形.$\therefore \angle OCB = 45^{\circ}$.$\because BC\perp NC$，$\therefore \angle NCB = 90^{\circ}$.$\therefore$ 易得 $\angle NCH = 45^{\circ}$.$\because NH\perp y$ 轴，$\therefore \triangle HCN$ 为等腰直角三角形.$\therefore NH = CH$.$\therefore HO = OC + CH = 3 + CH = 3 + NH$. 设点 $N$ 的坐标为 $(a,3 + a)$.$\because$ 点 $N$ 在新抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 上，$\therefore 3 + a = -a^2 + 2a + 3$，解得 $a_1 = 0$（不合题意，舍去），$a_2 = 1$.$\therefore 3 + a = 4$.$\therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(1,4)$.
（3）存在 $\because$ 四边形 $OAPQ$ 为平行四边形，$\therefore PQ = OA = 1$，且 $PQ// OA$. 设点 $P$ 的坐标为 $(t,-t^2 + 2t + 3)$，则点 $Q$ 的坐标为 $(t + 1,-t^2 + 2t + 3)$. 把点 $Q$ 的坐标代入 $y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$，得 $-t^2 + 2t + 3 = \frac{3}{2}(t + 1) + \frac{3}{2}$. 整理，得 $2t^2 - t = 0$，解得 $t_1 = 0$，$t_2 = \frac{1}{2}$. 当 $t = 0$ 时，$-t^2 + 2t + 3 = 3$；当 $t = \frac{1}{2}$ 时，$-t^2 + 2t + 3 = \frac{15}{4}$.$\therefore P_1(0,3)$、$Q_1(1,3)$ 或 $P_2(\frac{1}{2},\frac{15}{4})$、$Q_2(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$