《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

12. 如图所示为二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）的部分图像，其与$x$轴的一个交点坐标为$(-3,0)$，对称轴为直线$x = -1$，则当$y＜0$时，$x$的取值范围是__________.

答案： -3 ＜ x ＜ 1

13. （1）（2024·济宁）将抛物线$y = x^{2}-6x + 12$向下平移$k$个单位长度. 若平移后得到的抛物线与$x$轴有公共点，则$k$的取值范围是______.
（2）若抛物线$y = -mx^{2}-6x + 1$与$x$轴没有公共点，则$m$的取值范围是__________.

答案：
(1) $k \geq 3$
(2) $m ＜ -9$

14. 若点$P(m,n)$在二次函数$y = x^{2}+2x + 2$的图像上，且点$P$到$y$轴的距离小于2，则$n$的取值范围是______.

答案： $1 \leq n ＜ 10$

15. （2023·广安）如图，二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图像交$x$轴于点$A$、$B$，交$y$轴于点$C$，点$B$的坐标为$(1,0)$，对称轴是直线$x = -1$，$P$是$x$轴上一动点，$PM\perp x$轴，交直线$AC$于点$M$，交抛物线于点$N$.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点$P$在线段$AO$上运动（点$P$不与点$A$、$O$重合），连接$BC$、$CN$、$AN$，求四边形$ABCN$面积的最大值，并求出此时点$P$的坐标.

答案：
(1) $\because$抛物线的对称轴为直线$x = -1$，点$B$的坐标为$(1,0)$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-3,0)$。$\therefore$二次函数的表达式为$y = (x - 1)(x + 3)$，即$y = x^2 + 2x - 3$
(2) 连接$ON$，设$P(m,0)(-3 ＜ m ＜ 0)$，则$N(m,m^2 + 2m - 3)$。在$y = x^2 + 2x - 3$中，令$x = 0$，得$y = -3$。$\therefore C(0,-3)$。$\therefore OC = 3$。$\therefore S_{四边形ABCN} = S_{\triangle AON} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle CON} = \frac{1}{2} \times 3(-m^2 - 2m + 3) + \frac{1}{2} \times 1 \times 3 + \frac{1}{2} \times 3(-m) = -\frac{3}{2}m^2 - \frac{9}{2}m + 6 = -\frac{3}{2}(m + \frac{3}{2})^2 + \frac{75}{8}$。$\because -\frac{3}{2} ＜ 0$，$-3 ＜ m ＜ 0$，$\therefore$当$m = -\frac{3}{2}$时，$S_{四边形ABCN}$取最大值，为$\frac{75}{8}$，此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$

16. （2023·绍兴）已知二次函数$y = -x^{2}+bx + c$.
（1）当$b = 4$，$c = 3$时.
① 求该函数图像的顶点坐标；
② 当$-1\leqslant x\leqslant3$时，求$y$的取值范围.
（2）当$x\leqslant0$时，$y$的最大值为2；当$x＞0$时，$y$的最大值为3，求二次函数的表达式.

答案：
(1) ①当$b = 4$，$c = 3$时，$y = -x^2 + 4x + 3 = -(x - 2)^2 + 7$，$\therefore$函数图像的顶点坐标为$(2,7)$ ②当$x = -1$时，$y = -(-1)^2 + 4 \times (-1) + 3 = -2$；当$x = 3$时，$y = -3^2 + 4 \times 3 + 3 = 6$。$\because -1 ＜ 0$，$-1 \leq x \leq 3$，$\therefore$当$x = 2$时，$y$取得最大值，为7。$\therefore$当$-1 \leq x \leq 3$时，$-2 \leq y \leq 7$
(2) $\because$当$x \leq 0$时，$y$的最大值为2；当$x ＞ 0$时，$y$的最大值为3，$\therefore$该函数图像的对称轴$(直线 x = \frac{b}{2})$在$y$轴的右侧。$\therefore b ＞ 0$。由$a = -1$，得该函数图像开口向下，$\therefore c = 2$，$\frac{4 \times (-1) \times c - b^2}{4 \times (-1)} = 3$。$\therefore b = 2$(负值舍去)。$\therefore$二次函数的表达式为$y = -x^2 + 2x + 2$