《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

19. (2023·云南)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于点B、C的点. ⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，连接AB、AC，且DA·AC = DC·AB.
(1) 求证：直线EA是⊙O的切线；
(2) 若BC = BE，S△ACD = mS△BAE，求常数m的值.
　　　

答案： （1）连接 OA.
∵ $ DA\cdot AC = DC\cdot AB $，
∴ $ \frac{AB}{DA}=\frac{AC}{DC} $。
∵ BC 是 $ \odot O $ 的直径，
∴ $ \angle BAC = 90^{\circ} $。
∵ $ EA\perp CD $，
∴ $ \angle ADC = 90^{\circ} $。
∴ $ \angle BAC=\angle ADC $。
∴ $ \triangle ABC\sim\triangle DAC $。
∴ $ \angle ACB=\angle DCA $。
∵ $ OA = OC $，
∴ $ \angle OAC=\angle ACB $。
∴ $ \angle OAC=\angle DCA $。
∴ $ OA// CD $。
∴ $ \angle OAE=\angle ADC = 90^{\circ} $。
∴ $ OA\perp DE $。又
∵ OA 为 $ \odot O $ 的半径，
∴ 直线 EA 是 $ \odot O $ 的切线 （2）
∵ $ BC = BE $，
∴ $ S_{\triangle BAE}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACE} $。
∵ $ OB = OA $，
∴ $ \angle OBA=\angle OAB $。
∵ $ \angle BAC = 90^{\circ} $， $ \angle OAE = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle OBA+\angle ACE = 90^{\circ} $， $ \angle OAB+\angle BAE = 90^{\circ} $。
∴ $ \angle ACE=\angle BAE $。又
∵ $ \angle E=\angle E $，
∴ $ \triangle ACE\sim\triangle BAE $。
∴ $ \frac{S_{\triangle ACE}}{S_{\triangle BAE}}=\frac{AC^{2}}{BA^{2}} = 2 $。设 $ BA^{2}=x $，则 $ AC^{2}=2x $。
∴ 在 $ Rt\triangle ABC $ 中， $ BC^{2}=AC^{2}+BA^{2}=3x $。
∴ $ \frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3} $。由（1），得 $ \triangle ABC\sim\triangle DAC $，
∴ $ \frac{S_{\triangle DAC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{2}{3} $，即 $ \frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle BAE}}=\frac{2}{3} $。
∴ $ S_{\triangle ACD}=\frac{2}{3}S_{\triangle BAE} $。
∴ $ m=\frac{2}{3} $

20. 若一个三角形一条边的长的平方等于另外两条边的长的乘积，则我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1) 已知△ABC是比例三角形，AB = 2，BC = 3，求出所有满足条件的AC的长.
(2) 如图①，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC = ∠CDA. 求证：△ABC是比例三角形.
(3) 如图②，在(2)的条件下，当∠CDA = 90°时，求$\frac{BD}{AC}$的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： （1）由题意，分三种情况讨论：① $ AC^{2}=AB\cdot BC $，
∴ $ AC=\sqrt{6} $（负值舍去）；② $ AB^{2}=AC\cdot BC $，
∴ $ AC=\frac{4}{3} $；③ $ BC^{2}=AB\cdot AC $，
∴ $ AC=\frac{9}{2} $。综上所述，AC 的长为 $ \sqrt{6} $ 或 $ \frac{4}{3} $ 或 $ \frac{9}{2} $
（2）
∵ $ AD// BC $，
∴ $ \angle ACB=\angle DAC $。又
∵ $ \angle BAC=\angle CDA $，
∴ $ \triangle ABC\sim\triangle DCA $。
∴ $ \frac{BC}{CA}=\frac{CA}{AD} $，即 $ CA^{2}=BC\cdot AD $。
∵ $ AD// BC $，
∴ $ \angle ADB=\angle CBD $。
∵ BD 平分 $ \angle ABC $，
∴ $ \angle ABD=\angle CBD $。
∴ $ \angle ADB=\angle ABD $。
∴ $ AD = AB $。
∴ $ CA^{2}=BC\cdot AB $。
∴ $ \triangle ABC $ 是比例三角形 （3）过点 A 作 $ AH\perp BD $ 于点 H.
∵ $ AD = AB $， $ AH\perp BD $，
∴ $ \angle BHA = 90^{\circ} $， $ BH=\frac{1}{2}BD $。
∵ $ AD// BC $， $ \angle CDA = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle BCD = 180^{\circ}-\angle CDA = 90^{\circ} $。
∴ $ \angle BHA=\angle BCD = 90^{\circ} $。又
∵ $ \angle ABH=\angle DBC $，
∴ $ \triangle ABH\sim\triangle DBC $。
∴ $ \frac{AB}{DB}=\frac{BH}{BC} $，即 $ AB\cdot BC = BH\cdot DB $。
∴ $ AB\cdot BC=\frac{1}{2}BD^{2} $。又
∵ $ AB\cdot BC = AC^{2} $，
∴ $ \frac{1}{2}BD^{2}=AC^{2} $。
∴ $ \frac{BD}{AC}=\sqrt{2} $