《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

3. (2024·广元改编)如图，抛物线$y=-x^{2}+bx+c$经过$A(-1,0)、C(0,3)$两点，并交$x$轴于另一点$B$，$M$是抛物线的顶点，直线$AM$与$y$轴交于点$D$。
　(1) 求该抛物线对应的函数表达式。
　(2) 若$P$是抛物线上一动点，则在对称轴上是否存在点$Q$，使得以$D、M、P、Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由。
　　

答案： 3.（1）$\because$抛物线$y=-x^{2}+bx + c$经过A(-1,0)、C(0,3)两点，$\therefore\begin{cases}-1 - b + c = 0,\\c = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2,\\c = 3.\end{cases}$ $\therefore$该抛物线对应的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$ （2）存在 $\because y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，$\therefore$顶点M的坐标为(1,4).由点A、M的坐标可求得直线AM对应的函数表达式为$y = 2x + 2$，$\therefore D(0,2)$.假设对称轴上存在点Q，使得以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.$\because$抛物线$y=-x^{2}+2x + 3$的对称轴为直线$x = 1$，$\therefore$点Q的横坐标$x_{Q}=1$.①当MQ为平行四边形的一边时，$MQ// PD$，$MQ = PD$.由$MQ// PD$，得点P与点C重合，此时$PD = CD = 3 - 2 = 1$，$\therefore MQ = 1$，即$|y_{Q}-4| = 1$，解得$y_{Q}=3$或5.$\therefore Q_{1}(1,3)$、$Q_{2}(1,5)$.②当MQ为平行四边形的对角线时，$MD// PQ$，$MD = PQ$.由D(0,2)、M(1,4)，可知点Q先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点P，$\therefore x_{P}=x_{Q}+1 = 2$.将$x_{P}=2$代入$y=-x^{2}+2x + 3$，得$y_{P}=3$，$\therefore y_{Q}=y_{P}-2 = 1$.$\therefore Q_{3}(1,1)$.综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为(1,3)或(1,5)或(1,1)

4. (2024·内江改编)如图，抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}+2x-6$与$x$轴交于$A、B$两点(点$A$在点$B$的左侧)，与$y$轴交于点$C$，连接$AC、BC$。
　(1) 点$A$的坐标为________，点$B$的坐标为________，点$C$的坐标为________，直线$AC$对应的函数表达式为________，直线$BC$对应的函数表达式为________。
　(2) $P$是直线$AC$下方抛物线上的一个动点，过点$P$作$BC$的平行线$l$，交线段$AC$于点$D$。在直线$l$上是否存在点$E$，使得以$D、C、B、E$为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。
　　　

答案：
4.（1）(-6,0) (2,0) (0,-6) $y=-x - 6$ $y = 3x - 6$ （2）存在 假设在直线l上存在满足条件的点E.设点D的坐标为$(m,-m - 6)$，其中$-6\lt m\lt0$.$\because B(2,0)$、C(0,-6)，$\therefore BC^{2}=2^{2}+6^{2}=40$，$CD^{2}=m^{2}+(-m - 6 + 6)^{2}=2m^{2}$.$\because DE// BC$，$\therefore$当$DE = BC$时，以D、C、B、E为顶点的四边形为平行四边形.分两种情况讨论：如图①，连接BD、CE.当$BD = BC$时，四边形BDEC为菱形，$BD^{2}=(m - 2)^{2}+(m + 6)^{2}$.$\therefore BD^{2}=BC^{2}$.$\therefore (m - 2)^{2}+(m + 6)^{2}=40$，解得$m_{1}=-4$，$m_{2}=0$（不合题意，舍去）.$\therefore$点D的坐标为(-4,-2)，易得此时点E的坐标为(-6,-8).如图②，连接BE，当$CD = BC$时，四边形CBED为菱形.$\therefore CD^{2}=BC^{2}$.$\therefore 2m^{2}=40$，解得$m_{3}=-2\sqrt{5}$，$m_{4}=2\sqrt{5}$（不合题意，舍去）.$\therefore$点D的坐标为$(-2\sqrt{5},2\sqrt{5}-6)$，易得此时点E的坐标为$(2 - 2\sqrt{5},2\sqrt{5})$.综上所述，直线l上存在点E，使得以D、C、B、E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(-6,-8)或$(2 - 2\sqrt{5},2\sqrt{5})$