《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

9. 如图，△ABC内接于⊙O，AO = 2，BC = 2√3，则∠BAC的度数为__________.
　　　　　　

答案： $60^{\circ}$

10. 把两把同样大的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一把三角尺的锐角顶点与另一把三角尺的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一条直线上. 若AB = √2，则CD的长为__________.
　　　

答案： $\sqrt{3} - 1$

11. （2024·贵州）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、AF. 如果sin∠EAF = $\frac{4}{5}$，AE = 5，那么AB的长为__________.
　　　

答案： $\frac{2\sqrt{65}}{3}$

12. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C、D都在格点处，BA与CD相交于点P，则cos∠APC的值为__________.
　　　

答案：
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 解析：如图，把BA向上平移一格到DE，连接CE.
$\therefore DE // BA$. $\therefore \angle APC = \angle EDC$. 在$\triangle DCE$中，$EC = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$，$DC = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$，$DE = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$.
$\because EC^{2} + DC^{2} = DE^{2}$，$\therefore \triangle DCE$为直角三角形，$\angle DCE = 90^{\circ}$.
$\therefore \cos \angle APC = \cos \angle EDC = \frac{DC}{DE} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

13. 如图，△ABC的顶点都在小正方形网格的格点上，求∠BAC的三个三角函数值.
　　　

答案： 过点C作$CF \perp AB$于点F. 设小正方形的边长为$a(a ＞ 0)$，则$BC = 2a$，点A到BC的距离$h = 2a$. 由勾股定理，得$AB = \sqrt{(4a)^{2} + (2a)^{2}} = 2\sqrt{5}a$，$AC = \sqrt{(2a)^{2} + (2a)^{2}} = 2\sqrt{2}a$. 由三角形的面积公式，得$\frac{1}{2}AB \cdot CF = \frac{1}{2}BC \cdot h$，即$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{5}a \times CF = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a$，解得$CF = \frac{2\sqrt{5}}{5}a$. 在$Rt\triangle AFC$中，由勾股定理，得$AF = \sqrt{AC^{2} - CF^{2}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}a$. $\therefore \tan \angle BAC = \frac{CF}{AF} = \frac{1}{3}$，$\sin \angle BAC = \frac{CF}{AC} = \frac{\sqrt{10}}{10}$，$\cos \angle BAC = \frac{AF}{AC} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

14. （2024·赤峰）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，⊙O经过B、C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长，交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF//CD，交AC于点F.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BM = 4√2，tan∠BCD = $\frac{1}{2}$，求OM的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
（1）如图，连接OE. $\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$\therefore \angle A = \angle ABC = 45^{\circ}$. $\therefore \angle COE = 2\angle ABC = 90^{\circ}$. $\because EF // CD$，$\therefore \angle COE + \angle FEO = 180^{\circ}$. $\therefore \angle FEO = 90^{\circ}$. $\because OE$是$\odot O$的半径，$\therefore EF$是$\odot O$的切线 （2）如图，连接BD，过点M作$MH \perp BC$于点H，则$\triangle BMH$是等腰直角三角形. $\because$在$Rt\triangle BHM$中，$BM = 4\sqrt{2}$，$\therefore BH = MH = BM \cdot \sin 45^{\circ} = 4\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$. $\because$在$Rt\triangle CHM$中，$\tan \angle BCD = \frac{HM}{CH} = \frac{1}{2}$，$\therefore CH = 2MH = 8$. $\therefore$由勾股定理，得$CM = \sqrt{CH^{2} + MH^{2}} = 4\sqrt{5}$，$CB = CH + BH = 12$. $\because CD$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle DBC = 90^{\circ}$. $\therefore BD \perp BC$. $\therefore MH // BD$. $\therefore \frac{CM}{DM} = \frac{CH}{BH}$，即$\frac{4\sqrt{5}}{DM} = \frac{8}{4}$.
$\therefore DM = 2\sqrt{5}$. $\therefore OD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(CM + DM) = 3\sqrt{5}$.
$\therefore OM = OD - DM = \sqrt{5}$