《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

9. （1）当$m =$_______时，二次函数$y=(1 - m)x^{m^{2}-2}$有最小值.
（2）对于抛物线$y = kx^{k^{2}-3k - 8}$，当$k =$_______时，抛物线有最低点；当$k =$_______时，抛物线有最高点.

答案：
(1) - 2
(2) 5 - 2

10. 若直线$y = m$（$m$为常数）与分段函数$y=\begin{cases}x^{2}(x\leqslant2)\\\frac{8}{x}(x＞2)\end{cases}$的图像有三个不同的交点，则常数$m$的取值范围是_________.

答案：
$0 ＜ m ＜ 4$ 解析：如图，先画出直线 $y = m$ 与分段函数的图像，再沿 $y$ 轴上下移动直线 $y = m$ 的位置，观察它与分段函数的图像的交点情况

11. （2023·日照改编）如图，在平面直角坐标系中，点$A(2,4)$在抛物线$y = ax^{2}$上，过点$A$作$y$轴的垂线，交抛物线于另一点$B$，点$C$、$D$在线段$AB$上，分别过点$C$、$D$作$x$轴的垂线交抛物线于$E$、$F$两点. 当四边形$CDFE$为正方形时，求线段$CD$的长.

答案： 把 $A(2,4)$ 代入 $y = ax^{2}$ 中，得 $4 = 4a$，解得 $a = 1$.$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为 $y = x^{2}$. 设点 $C$ 的横坐标为 $m(m ＞ 0)$，则易得 $CD = CE = 2m$.$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(m,4 - 2m)$.$\because$ 点 $E$ 在抛物线 $y = x^{2}$ 上，$\therefore m^{2} = 4 - 2m$，即 $m^{2} + 2m - 4 = 0$，解得 $m_{1} = - 1 - \sqrt{5}$（不合题意，舍去），$m_{2} = - 1 + \sqrt{5}$.$\therefore CD = 2m = - 2 + 2\sqrt{5}$

12. 如图，二次函数图像的顶点在原点，且点$(2,1)$在二次函数的图像上，过点$F(0,1)$作$x$轴的平行线，交二次函数的图像于$M$、$N$两点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）$P$为平面内一点，当$\triangle PMN$是等边三角形时，求点$P$的坐标.

答案：
(1) $\because$ 二次函数图像的顶点在原点，$\therefore$ 可设二次函数的表达式为 $y = ax^{2}$. 将 $(2,1)$ 代入函数表达式，得 $a = \frac{1}{4}$.$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = \frac{1}{4}x^{2}$
(2) 将 $y = 1$ 代入 $y = \frac{1}{4}x^{2}$，得 $x = \pm2$.$\therefore$ 点 $M$、$N$ 的坐标分别为 $(-2,1)$、$(2,1)$，此时 $MN = 2 - (-2) = 4$.$\because \triangle PMN$ 是等边三角形，$\therefore$ 点 $P$ 在 $y$ 轴上，且 $PM = 4$.$\therefore PF = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{3}$.$\because$ 点 $F$ 的坐标为 $(0,1)$，$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,1 + 2\sqrt{3})$ 或 $(0,1 - 2\sqrt{3})$