《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

3. 我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形. 若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”.
（1）等边三角形的“内似线”的条数为________；
（2）如图①，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD，求证：BD是△ABC的“内似线”；
（3）如图②，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，点E、F分别在边AC、BC上（不含端点），且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长.
　　

答案：
（1）3
（2）$\because AB = AC$，$BD = BC = AD$，$\therefore \angle ABC=\angle C=\angle BDC$，$\angle A=\angle ABD$.$\because \angle BDC=\angle A+\angle ABD = 2\angle ABD$，$\therefore \angle ABC = 2\angle ABD$.$\because \angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，$\therefore \angle DBC=\angle ABD=\angle A$.$\therefore BD$平分$\angle ABC$，即$BD$经过$\triangle ABC$的内心.又$\because \angle C=\angle C$，$\therefore \triangle CBD\backsim \triangle CAB$.$\therefore BD$是$\triangle ABC$的“内似线”
（3）如图①②，设点$I$是$\triangle ABC$的内心，过点$I$作$IP\perp AB$，垂足为$P$，作$IM\perp AC$，垂足为$M$，作$IN\perp BC$，垂足为$N$，则$IP = IM = IN$.在$Rt\triangle ABC$中，$\because \angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，$\therefore$由勾股定理，得$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$.由三角形的面积公式，得$\frac{1}{2}\times(3 + 4 + 5)\times IP=\frac{1}{2}\times3\times4$.$\therefore IP = 1$.$\therefore IM = IN = 1$.如图①，当$\triangle CEF\backsim \triangle CAB$时，$\angle CEF=\angle A$.$\because IM\perp AC$，$\therefore \angle EMI = 90^{\circ}$.$\therefore \angle EMI=\angle C = 90^{\circ}$.$\therefore \triangle MEI\backsim \triangle CAB$.$\therefore \frac{EI}{AB}=\frac{IM}{BC}$.$\therefore EI=\frac{IM\cdot AB}{BC}=\frac{5}{3}$.同理，可得$FI=\frac{IN\cdot BA}{AC}=\frac{5}{4}$.$\therefore EF = EI + FI=\frac{5}{3}+\frac{5}{4}=\frac{35}{12}$.
如图②，当$\triangle CFE\backsim \triangle CAB$时，同理，可得$\triangle MEI\backsim \triangle CBA$，$\triangle NFI\backsim \triangle CAB$.$\therefore EI=\frac{IM\cdot BA}{AC}=\frac{5}{4}$，$FI=\frac{IN\cdot AB}{BC}=\frac{5}{3}$.$\therefore EF = EI + FI=\frac{5}{4}+\frac{5}{3}=\frac{35}{12}$.综上所述，$EF=\frac{35}{12}$