《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

8. 如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交DC于点G，交AD的延长线于点E. 若AB = 12，BM = 5，则DE的长为（ ）

A. 18
B. $\frac{109}{5}$
C. $\frac{96}{5}$
D. $\frac{25}{3}$

答案： B

9. （2024·眉山）如图，△ABC内接于⊙O，圆心O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接BD. 若AB = 10，BD = 2$\sqrt{5}$，则BC的长为_______.

答案： 8 解析：延长$AC$，$BD$交于点$E$. 在$Rt\triangle ADB$中，根据勾股定理求出$AD = 4\sqrt{5}$. 先证$\triangle BAD\cong\triangle EAD$，得$BD = DE = 2\sqrt{5}$. 再证$\triangle BEC\sim\triangle ABD$，得$\frac{BE}{AB}=\frac{BC}{AD}$，解得$BC = 8$.

10. 如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)、B(0，2). 如果点C在x轴上（不与点A重合），那么当点C的坐标为____________________时，以B、O、C为顶点的三角形与△AOB相似.

答案： $(-4,0)$或$(1,0)$或$(-1,0)$

11. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点. ∠ABE = ∠C，∠BAE = ∠CAD，连接DE. 求证：DE//AC.

答案：
如图，延长$BE$，交$AC$于点$F$. $\because \angle ABE = \angle C$，$\angle BAE = \angle CAD$，$\therefore \triangle ABE\sim\triangle ACD$. $\therefore \frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AD}$. $\because \angle BAE = \angle CAD$，$\therefore \angle BAE + \angle DAE = \angle CAD + \angle DAE$，即$\angle BAD = \angle FAE$. $\because \angle AEF = \angle ABE + \angle BAE$，$\angle ADB = \angle CAD + \angle C$，$\therefore \angle AEF = \angle ADB$. $\therefore \triangle EAF\sim\triangle DAB$. $\therefore \frac{EF}{DB}=\frac{AE}{AD}$. $\therefore \frac{BE}{CD}=\frac{EF}{DB}$. $\because D$是$BC$的中点，$\therefore CD = BD$. $\therefore BE = EF$. $\therefore DE$是$\triangle BCF$的中位线. $\therefore DE// AC$

12. 如图，点P是△ABC的重心，且AF⊥BE，垂足为P，设BC = a，AC = b，AB = c. 求证：a² + b² = 5c².

答案： 连接$EF$，设$PF = m$，$PE = n$. $\because$ 点$P$是$\triangle ABC$的重心，$\therefore E$、$F$分别为$AC$、$BC$的中点. $\therefore EF$为$\triangle ABC$的中位线. $\therefore EF// AB$，$EF = \frac{1}{2}AB$，$AE = \frac{1}{2}AC$，$BF = \frac{1}{2}BC$. $\because BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，$\therefore AE = \frac{1}{2}b$，$BF = \frac{1}{2}a$，$EF = \frac{1}{2}c$. $\because EF// AB$，$\therefore \angle EFP = \angle BAP$，$\angle FEP = \angle ABP$. $\therefore \triangle EFP\sim\triangle BAP$. $\therefore \frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{BA}=\frac{1}{2}$，即$\frac{n}{PB}=\frac{m}{PA}=\frac{1}{2}$. $\therefore PB = 2n$，$PA = 2m$. $\because AF\perp BE$，$\therefore$ 在$Rt\triangle AEP$中，由勾股定理，得$PE^{2}+PA^{2}=AE^{2}$，得$n^{2}+4m^{2}=\frac{1}{4}b^{2}$①；在$Rt\triangle BFP$中，由勾股定理，得$PF^{2}+PB^{2}=BF^{2}$，得$m^{2}+4n^{2}=\frac{1}{4}a^{2}$②. ① + ②，得$5(n^{2}+m^{2})=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})$. 在$Rt\triangle EFP$中，由勾股定理，得$PE^{2}+PF^{2}=EF^{2}$，得$n^{2}+m^{2}=\frac{1}{4}c^{2}$. $\therefore 5\times\frac{1}{4}c^{2}=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})$，即$a^{2}+b^{2}=5c^{2}$