《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

1. (2024·龙东地区)如图，抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与$x$轴交于$A、B$两点，与$y$轴交于点$C$，其中$B(1,0)、C(0,3)$。
　(1) 求抛物线对应的函数表达式。
　(2) 在第二象限的抛物线上是否存在一点$P$，使得$\triangle APC$的面积最大？若存在，请求出点$P$的坐标和$\triangle APC$的最大面积；若不存在，请说明理由。
　　　

答案：
1.（1）将B(1,0)、C(0,3)代入$y=-x^{2}+bx+c$中，得$\begin{cases}-1 + b + c = 0,\\c = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2,\\c = 3.\end{cases}$ $\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=-x^{2}-2x + 3$ （2）存在 令$y = 0$，则$0=-x^{2}-2x + 3$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$.$\therefore A(-3,0)$.由A、C两点坐标，可得直线AC对应的函数表达式为$y = x + 3$.如图，过点P作$PE\perp x$轴于点E，交AC于点F.设$P(m,-m^{2}-2m + 3)(-3\lt m\lt0)$，则$F(m,m + 3)$.$\therefore PF=y_{P}-y_{F}=(-m^{2}-2m + 3)-(m + 3)=-m^{2}-3m$.$\therefore S_{\triangle APC}=S_{\triangle APF}+S_{\triangle CPF}=\frac{1}{2}PF\cdot AE+\frac{1}{2}PF\cdot OE=\frac{1}{2}PF\cdot OA=\frac{1}{2}(-m^{2}-3m)\times3=-\frac{3}{2}m^{2}-\frac{9}{2}m=-\frac{3}{2}(m+\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$.$\because-\frac{3}{2}\lt0$，$-3\lt m\lt0$，$\therefore$当$m = -\frac{3}{2}$时，$S_{\triangle APC}$取得最大值，为$\frac{27}{8}$，且$-m^{2}-2m + 3=\frac{15}{4}$，即此时点P的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$

2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于$A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-4)$三点，$P$是直线$BC$下方的抛物线上一动点。
　(1) 求这个二次函数的表达式。
　(2) 是否存在点$P$，使得$\triangle POC$是以$OC$为底边的等腰三角形？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
　　　

答案： 2.（1）设这个二次函数的表达式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$.把A、B、C三点的坐标代入，得$\begin{cases}a - b + c = 0,\\16a + 4b + c = 0,\\c = -4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -3,\\c = -4.\end{cases}$ $\therefore$这个二次函数的表达式为$y = x^{2}-3x - 4$ （2）存在 作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交直线BC下方的抛物线于点P.$\therefore PO = PC$，此时P即为满足条件的点.$\because$点C的坐标为(0,-4)，$\therefore$点D的坐标为(0,-2).$\therefore$点P的纵坐标为-2.在$y = x^{2}-3x - 4$中，令$y = -2$，得$x^{2}-3x - 4 = -2$，解得$x_{1}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（不合题意，舍去），$x_{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.$\therefore$存在满足条件的点P，其坐标为$(\frac{3+\sqrt{17}}{2},-2)$