《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

9. （2024·赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A、C在抛物线y = -x² + 4上，点D在y轴上. 若A、C两点的横坐标分别为m、n(m ＞ n ＞ 0)，下列结论正确的是 （ ）

A. m + n = 1
B. m - n = 1
C. m = 1
D. $\frac{m}{n}$ = 1

答案：
B 解析：如图，分别过点 $ A $、$ C $ 作 $ y $ 轴的垂线，垂足分别为 $ M $、$ N $。由题意，得点 $ A $ 的坐标为 $ (m,-m^{2} + 4) $，点 $ C $ 的坐标为 $ (n,-n^{2} + 4) $，则 $ AM = m $，$ MO = -m^{2} + 4 $，$ CN = n $，$ NO = -n^{2} + 4 $。$ \therefore MN = NO - MO = m^{2} - n^{2} $。易证 $ \triangle CDN \cong \triangle DAM $，得 $ CN = DM = n $，$ DN = AM = m $，$ \therefore MN = DM + DN = m + n $。$ \therefore m^{2} - n^{2} = m + n $，即 $ (m + n)(m - n) = m + n $。$ \because m ＞ n ＞ 0 $，$ \therefore m + n \neq 0 $。$ \therefore m - n = 1 $。

10. 已知二次函数y = -(x - h)²(h为常数)，当自变量x的值满足2 ≤ x ≤ 5时，与其对应的函数值y的最大值为 -1，则h的值为 （ ）
A. 3或4
B. 1或6
C. 1或3
D. 4或6

答案： B 解析：若 $ h ＜ 2 $，则当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 取得最大值 $ -1 $，$ \therefore -(2 - h)^{2} = -1 $，解得 $ h_{1} = 1 $，$ h_{2} = 3 $（不合题意，舍去）。若 $ 2 \leq h \leq 5 $，则当 $ x = h $ 时，$ y $ 取得最大值 0，不合题意，舍去；若 $ h ＞ 5 $，则当 $ x = 5 $ 时，$ y $ 取得最大值 $ -1 $。$ \therefore -(5 - h)^{2} = -1 $，解得 $ h_{3} = 6 $，$ h_{4} = 4 $（不合题意，舍去）。综上所述，$ h $ 的值为 1 或 6。

11. 如果一次函数y = kx + 4与二次函数y = ax² + c的图像的一个交点坐标为(1, 2)，另一个交点是该二次函数图像的顶点，那么k的值为_______，a的值为_______，c的值为_______.

答案： -2 -2 4

12. 已知二次函数的图像经过点P(2, 2)，顶点为O(0, 0). 将该图像向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线对应的函数表达式为___________.

答案： $ y = \frac{1}{2}(x - 4)^{2} $

13. 已知抛物线y = (x - a)²的对称轴为直线x = 1.
（1）求a的值；
（2）若点M(x₁, y₁)、N(x₂, y₂)都在此抛物线上，且 -1 ＜ x₁ ＜ 0，1 ＜ x₂ ＜ 2，试比较y₁与y₂的大小，并说明理由；
（3）设直线y = m(m ＞ 0)与抛物线y = (x - a)²交于点A、B，与抛物线y = 3(x - 1)²交于点C、D，则$\frac{AB}{CD}$的值为_______.

答案：
(1) $ a = 1 $
(2) $ y_{1} ＞ y_{2} $ 理由：由
(1)，可知 $ y = (x - 1)^{2} $。$ \because $ 抛物线的开口向上，$ \therefore $ 当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＜ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。$ \because -1 ＜ x_{1} ＜ 0 $，$ 1 ＜ x_{2} ＜ 2 $，$ \therefore 1 ＜ y_{1} ＜ 4 $，$ 0 ＜ y_{2} ＜ 1 $。$ \therefore y_{1} ＞ y_{2} $。
(3) $ \sqrt{3} $ 解析：由 $ (x - 1)^{2} = m $，解得 $ x_{1} = 1 + \sqrt{m} $，$ x_{2} = 1 - \sqrt{m} $。$ \therefore AB = x_{1} - x_{2} = 2\sqrt{m} $。由 $ 3(x - 1)^{2} = m $，解得 $ x_{3} = 1 - \frac{\sqrt{3m}}{3} $，$ x_{4} = 1 + \frac{\sqrt{3m}}{3} $。$ \therefore CD = x_{4} - x_{3} = \frac{2\sqrt{3m}}{3} $。$ \therefore \frac{AB}{CD} = \frac{2\sqrt{m}}{\frac{2\sqrt{3m}}{3}} = \sqrt{3} $。

14. 抛物线y = $\frac{1}{4}$x² + 1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0, 2)的距离与到x轴的距离始终相等. 如图，点M的坐标为($\sqrt{3}$, 3)，P是抛物线y = $\frac{1}{4}$x² + 1上一个动点，则△PMF的周长的最小值为_______.

答案： 5 解析：过点 $ P $ 作 $ PM' \perp x $ 轴于点 $ M' $。由题意，得 $ PM' = PF $。当点 $ M $、$ P $、$ M' $ 共线时，$ MP + FP $ 的值最小，最小值为 $ MM' = 3 $，此时 $ \triangle PMF $ 的周长最小。$ \because $ 易知 $ MF = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^{2} + (3 - 2)^{2}} = 2 $，$ \therefore \triangle PMF $ 的周长的最小值为 $ MM' + MF = 3 + 2 = 5 $。