《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

1. 一个二次函数的图像如图所示，则它所对应的函数表达式为 （ ）

A. $y = 2x^{2}-4x$
B. $y=-x(x - 2)$
C. $y=-(x - 1)^{2}+2$
D. $y=-2x^{2}+4x$

答案： D

2. 已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0，-1)，则这个二次函数的表达式可以为 ____________（只需写一个）.

答案： 答案不唯一，如$y = 2x^{2}-1$

3. 已知A(0，3)、B(2，3)是抛物线$y=-x^{2}+bx + c$上的两点，则该抛物线的顶点坐标是________.

答案： $(1,4)$

4. 将抛物线$y=(x - 3)^{2}-2$向左平移n（n是正整数）个单位长度后经过点A(2，2)，则n的值为_______.

答案： 3

5. 根据下列条件，分别求抛物线对应的函数表达式.
（1）抛物线的顶点坐标为(1，4)，且经过点(0，3).
（2）(2024·上海)经过点$A(0,-\frac{5}{3})$、B(5，0)，且由抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}$平移后得到.
（3）当$x＞-4$时，y随x的增大而减小；当$x＜-4$时，y随x的增大而增大. 函数的最大值为30，且抛物线经过点(0，-2).

答案：
(1) 根据题意，可设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 1)^{2}+4$.$\because$抛物线经过点$(0,3)$，$\therefore 3 = a + 4$，解得$a=-1$.$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=-(x - 1)^{2}+4$
(2) 设新抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^{2}+bx + c$. 将$A(0,-\frac{5}{3})$、$B(5,0)$代入，得$\begin{cases}c = -\frac{5}{3},\\\frac{1}{3}\times5^{2}+5b + c = 0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b = -\frac{4}{3},\\c = -\frac{5}{3}.\end{cases}$ $\therefore$新抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$
(3) 根据题意，得顶点坐标为$(-4,30)$，则可设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x + 4)^{2}+30$.$\because$抛物线经过点$(0,-2)$，$\therefore -2 = 16a+30$，解得$a=-2$.$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x + 4)^{2}+30$

6. 设函数$y=a(x - h)^{2}+k$（a、h、k是实数，$a\neq0$），当$x = 1$时，$y = 1$；当$x = 8$时，$y = 8$. 下列结论正确的是 （ ）
A. 若$h = 4$，则$a＜0$
B. 若$h = 5$，则$a＞0$
C. 若$h = 6$，则$a＜0$
D. 若$h = 7$，则$a＞0$

答案： C 解析：把“当$x = 1$时，$y = 1$；当$x = 8$时，$y = 8$”代入函数表达式，得$\begin{cases}1 = a(1 - h)^{2}+k,\\8 = a(8 - h)^{2}+k,\end{cases}$ $\therefore a(8 - h)^{2}-a(1 - h)^{2}=7$，即$a(9 - 2h)=1$. 分别把选项中$h$的值代入上式，求出$a$的值，即能判断$a$的符号.

7. 若抛物线$y=x^{2}+bx + c$与x轴的两个交点间的距离为4，对称轴为直线$x = 2$，设P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴对称的点的坐标为________.

答案： $(2,4)$ 解析：由“抛物线与$x$轴的两个交点间的距离为$4$，对称轴为直线$x = 2$”，得抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(0,0)$、$(4,0)$. 将$(0,0)$、$(4,0)$代入$y = x^{2}+bx + c$，可得$b=-4$，$c = 0$.$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y = x^{2}-4x=(x - 2)^{2}-4$.$\therefore$点$P$的坐标为$(2,-4)$.$\therefore$点$P$关于$x$轴对称的点的坐标是$(2,4)$.

8. (2024·苏州)二次函数$y=ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）的图像过点A(0，m)、B(1，-m)、C(2，n)、D(3，-m)，其中m、n为常数，则$\frac{m}{n}$的值为_______.

答案： $-\frac{3}{5}$ 解析：将$A(0,m)$、$B(1,-m)$、$D(3,-m)$分别代入$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，得$\begin{cases}c = m,\\a + b + c=-m,\\9a + 3b + c=-m,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}a=\frac{2}{3}m,\\b = -\frac{8}{3}m,\\c = m.\end{cases}$ $\therefore y=\frac{2}{3}mx^{2}-\frac{8}{3}mx + m$. 把$C(2,n)$代入$y=\frac{2}{3}mx^{2}-\frac{8}{3}mx + m$，得$n=\frac{2}{3}m\times2^{2}-\frac{8}{3}m\times2 + m$，$\therefore n = -\frac{5}{3}m$.$\therefore\frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5}{3}m}=-\frac{3}{5}$.

9. 如图，抛物线$y=-x^{2}+2x + c$与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，且$OA = OB$，则抛物线对应的函数表达式为______________.

答案： $y=-x^{2}+2x + 3$ 解析：$\because$抛物线$y=-x^{2}+2x + c$与$y$轴正半轴交于点$B$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0,c)$.$\therefore OA = OB = c$，即点$A$的坐标为$(c,0)$. 把$(c,0)$代入$y=-x^{2}+2x + c$，得$0=-c^{2}+2c + c$，解得$c_{1}=3$，$c_{2}=0$（不合题意，舍去）.$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$.