《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

1. 在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l(垂足为P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E.
　　(1) 当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示. 求证：AE=BF.
　　(2) 当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示，则∠AFQ的度数为__________:
　　(3) 直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示. 设AB=2，BF=x，DG=y，求y与x之间的函数表达式.
　　　　　　　　　

答案： （1）
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DA = AB，∠BAD = ∠ABF = 90°.
∴ ∠PAD + ∠BAF = 90°.
∵ DE ⊥ AF，
∴ ∠APD = 90°.
∴ ∠PAD + ∠ADE = 90°.
∴ ∠ADE = ∠BAF. 在△DAE和△ABF中，
∵ ∠ADE = ∠BAF，DA = AB，∠DAE = ∠ABF，
∴ △DAE≌△ABF.
∴ AE = BF
（2）45° 解析：连接AQ、CQ.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BA = BC，∠ABC = 90°，∠ABQ = ∠CBQ = 45°. 又
∵ BQ = BQ，
∴ △ABQ≌△CBQ.
∴ QA = QC，∠BAQ = ∠BCQ. 根据题意，得EQ垂直平分线段AF，
∴ QA = QF.
∴ ∠FAQ = ∠AFQ，QC = QF.
∴ ∠QCF = ∠QFC.
∴ ∠QFC = ∠BAQ.
∵ ∠QFC + ∠BFQ = 180°，
∴ ∠BAQ + ∠BFQ = 180°.
∵ 四边形ABFQ的内角和为360°，
∴ ∠AQF + ∠ABF = 180°.
∵ ∠ABF = 90°，
∴ ∠AQF = 90°.
∴ ∠AFQ = $\frac{1}{2}$×(180° - 90°)= 45°.
（3）过点E作ET⊥CD于点T，则∠ETG = ∠ETC = 90°.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC，∠ABC = ∠C = 90°.
∴ 四边形BCTE是矩形，∠ABF = ∠ETG.
∴ ET = BC = AB，BE = TC，∠BET = ∠AET = 90°.
∴ ∠AEP + ∠TEG = 90°.
∵ AF ⊥ EG，
∴ ∠APE = 90°.
∴ ∠AEP + ∠BAF = 90°.
∴ ∠BAF = ∠TEG. 在△ABF和△ETG中，$\begin{cases}∠BAF = ∠TEG，\\AB = ET，\\∠ABF = ∠ETG，\end{cases}$
∴ △ABF≌△ETG.
∴ BF = TG = x.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD = AB = CD = 2，AD//BC，DG//BE.
∴ 易得△BPF∽△DPA，△BPE∽△DPG.
∴ $\frac{BP}{DP}=\frac{BF}{DA}$，$\frac{BE}{DG}=\frac{BP}{DP}$.
∴ $\frac{BE}{y}=\frac{x}{2}$.
∴ BE = TC = $\frac{1}{2}xy$.
∵ TG = CD - DG - TC，
∴ x = 2 - y - $\frac{1}{2}xy$.
∴ y = $\frac{4 - 2x}{x + 2}$(0≤x≤2)

2. (2024·泰安)(1) 如图①，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连接BG，EF与BG相交于点H. 求证：$\frac{EF}{BG}=\frac{AB}{BC}$.
　(2) 如图②，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF. 将纸片展平，连接EG、FH、FG，若FG//CD，求证：G恰好是对角线BD的一个黄金分割点.
　　

答案： （1）过点E作EM⊥BC，垂足为M，则∠EMF = ∠EMB = 90°.
∴ 在△EMF中，∠FEM + ∠BFH = 90°.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A = ∠ABC = ∠C = 90°.
∴ ∠EMF = ∠C，四边形ABME是矩形.
∴ AB = EM.
∵ EF ⊥ BG，
∴ ∠BHF = 90°.
∴ 在△BHF中，∠FBH + ∠BFH = 90°.
∴ ∠FBH = ∠FEM.
∴ △EMF∽△BCG.
∴ $\frac{EF}{BG}=\frac{EM}{BC}$.
∴ $\frac{EF}{BG}=\frac{AB}{BC}$
（2）
∵ FG//CD，
∴ △BCD∽△BFG.
∴ $\frac{CD}{FG}=\frac{BD}{BG}$，∠CDF = ∠DFG.
∵ DF、BE为折痕，
∴ ∠CDF = ∠BDF，AB = BG.
∴ ∠DFG = ∠BDF.
∴ GD = FG.
∴ $\frac{CD}{GD}=\frac{BD}{BG}$.
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB = CD.
∴ BG = CD.
∴ $\frac{BG}{GD}=\frac{BD}{BG}$.
∴ BG² = BD·GD，即G恰好是对角线BD的一个黄金分割点