《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

7. 如图①所示为一张等边三角形纸片 ABC，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上. 如图②，现沿 DE 将点 B 往右折后，BD、BE 分别与 AC 相交于点 F、G. 若 AD = 10，AF = 16，DF = 14，BF = 8，则 CG 的长为 （ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
　　　　　　　　　　

答案： C

8. （2024·宜宾）如图，正五边形 ABCDE 的边长为 4，则这个正五边形的对角线 AC 的长为_______.
　　　　　　　

答案： $2\sqrt{5} + 2$ 解析：连接 $BE$ 交 $AC$ 于点 $O$，证 $\triangle ABO \backsim \triangle ACB$，得 $\frac{4}{AC} = \frac{AC - 4}{4}$，解得 $AC = 2\sqrt{5} + 2$ 或 $AC = -2\sqrt{5} + 2$（不合题意，舍去）.

9. 如图，在正方形 ABCD 中，M 是边 BC 上一定点，连接 AM. 请用尺规作图，在线段 AM 上作一点 P，使△DPA∽△ABM（不写作法，保留作图痕迹）.
　　

答案：
如图所示

10. （2024·无锡）如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，AB、CD 的延长线相交于点 E，且 DE = AD.
（1）求证：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC 的度数.
　　　

答案： （1）$\because \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{BD}$，$\therefore \angle CAD = \angle DAB$.$\because DE = AD$，$\therefore \angle DAB = \angle E$.$\therefore \angle CAD = \angle E$. 又 $\because \angle C = \angle C$，$\therefore \triangle CAD \backsim \triangle CEA$ （2）连接 $BD$.$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$. 设 $\angle CAD = \angle DAB = \alpha$，则 $\angle EAC = 2\alpha$. 由（1），知 $\triangle CAD \backsim \triangle CEA$，$\therefore \angle ADC = \angle EAC = 2\alpha$.$\because$ 四边形 $ABDC$ 是圆内接四边形，$\therefore \angle CAB + \angle CDB = 180^{\circ}$，即 $2\alpha + 2\alpha + 90^{\circ} = 180^{\circ}$，解得 $\alpha = 22.5^{\circ}$.$\therefore \angle ADC = 2\alpha = 2 \times 22.5^{\circ} = 45^{\circ}$

11. （2024·湖北）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2，AD = 3，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A 的对应点 P 落在边 CD 上，点 B 的对应点为 G，PG 交 BC 于点 H. 当 P 为 CD 的中点时，求 GH 的长.
　　　

答案： $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore CD = AB = 2$，$AD = BC = 3$，$\angle A = \angle D = \angle C = 90^{\circ}$.$\therefore \angle DEP + \angle DPE = 90^{\circ}$.$\because P$ 为 $CD$ 的中点，$\therefore DP = PC = \frac{1}{2} \times 2 = 1$. 由折叠，知 $EP = AE$，$\angle EPH = \angle A = 90^{\circ}$，$PG = AB = 2$.$\therefore \angle DPE + \angle CPH = 90^{\circ}$.$\therefore \angle DEP = \angle CPH$.$\therefore \triangle EDP \backsim \triangle PCH$.$\therefore \frac{ED}{PC} = \frac{EP}{PH}$. 设 $EP = AE = x$，则 $ED = 3 - x$.$\because$ 在 $Rt\triangle EDP$ 中，$EP^{2} = ED^{2} + DP^{2}$，$\therefore x^{2} = (3 - x)^{2} + 1^{2}$，解得 $x = \frac{5}{3}$.$\therefore EP = AE = \frac{5}{3}$，$ED = \frac{4}{3}$.$\therefore \frac{\frac{4}{3}}{1} = \frac{\frac{5}{3}}{PH}$.$\therefore PH = \frac{5}{4}$.$\therefore GH = PG - PH = \frac{3}{4}$