《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

7. 如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，则这个斜坡与水平地面所夹锐角的正切值为 （ ）

A. $\frac{5}{13}$
B. $\frac{12}{13}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $\frac{13}{12}$

答案： C

8.（2024·南充改编）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成. 在正方形ABCD中，AB = 10. 若tan∠ADF = $\frac{3}{4}$，则EF的长为_______.

答案： 2

9.（2023·连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC = 4，OE = 2，则tan∠EDO的值为_______.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

10. 如果方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的两个根分别是Rt△ABC中两条边的长，Rt△ABC中最小的角为∠A，那么tan A的值为__________.

答案： $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

11.（2024·长沙）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，满足∠CEO = ∠COE. 若AB = 6，BC = 8，求tan∠CEO的值.

答案： 过点 $O$ 作 $OH\perp BC$ 于点 $H$，则 $\angle OHE = \angle OHC = 90^{\circ}$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore \angle ABC = 90^{\circ}$，$OC = \frac{1}{2}AC$. $\because$ 在
$Rt\triangle ABC$ 中，$AB = 6$，$BC = 8$，$\therefore$ 由勾股定理，得 $AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$. $\therefore OC = 5$. $\because \angle CEO = \angle COE$，
$\therefore CE = OC = 5$. $\because \angle ABC = \angle OHC = 90^{\circ}$，$\angle OCH = \angle ACB$，
$\therefore \triangle ABC\sim\triangle OHC$. $\therefore \frac{AB}{OH}=\frac{BC}{HC}=\frac{AC}{OC}=2$. $\therefore HC = \frac{1}{2}BC = 4$，$OH = \frac{1}{2}AB = 3$. $\therefore EH = CE - HC = 5 - 4 = 1$. $\therefore$ 在
$Rt\triangle OHE$ 中，$\tan\angle CEO = \frac{OH}{EH}=\frac{3}{1}=3$

12. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = AC，D为AC的中点. 求：
（1）tan∠BDC的值；
（2）tan∠ABD的值.

答案：
(1) $\because D$ 为 $AC$ 的中点，$\therefore AC = 2CD$. $\because BC = AC$，
$\therefore BC = 2CD$. $\because \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle BCD$ 中，$\tan\angle BDC = \frac{BC}{CD}=\frac{2CD}{CD}=2$
(2) 过点 $D$ 作 $DH\perp AB$ 于点 $H$，设 $DH = t(t ＞ 0)$. $\because \angle C = 90^{\circ}$，$BC = AC$，$\therefore \angle A = \angle ABC = 45^{\circ}$. $\therefore$ 易
知在 $Rt\triangle ADH$ 中，$AH = DH = t$. 由勾股定理，得 $AD = \sqrt{t^{2}+t^{2}}=\sqrt{2}t$. $\because D$ 为 $AC$ 的中点，$\therefore AC = 2AD = 2\sqrt{2}t$.
$\therefore BC = AC = 2\sqrt{2}t$. $\therefore$ 在 $Rt\triangle ABC$ 中，由勾股定理，得 $AB = \sqrt{(2\sqrt{2}t)^{2}+(2\sqrt{2}t)^{2}} = 4t$. $\therefore BH = AB - AH = 3t$. $\therefore$ 在
$Rt\triangle BHD$ 中，$\tan\angle ABD = \frac{DH}{BH}=\frac{t}{3t}=\frac{1}{3}$