《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，$\sin A=\frac{8}{17}$，则$\tan B$的值为 （ ）
A. $\frac{15}{17}$
B. $\frac{17}{8}$
C. $\frac{15}{8}$
D. $\frac{8}{15}$

答案： C

9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. 若CD=12，BD=5，则$\tan A$的值为_______，$\cos\angle ACD$的值为_______.

答案： $\frac{5}{12}$ $\frac{5}{13}$

10. 已知等腰三角形的底边和底边上的高分别是方程$x^{2}-10x + 24 = 0$的两个根，则该等腰三角形底角的正弦值是____________.

答案： $\frac{4}{5}$ 或 $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

11. （2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是边BC上的中线，AB = 10，AD = 6，$\tan\angle ACB = 1$. 求：
（1）BC的长；
（2）$\sin\angle DAE$的值.

答案：
(1) $\because AD\perp BC$，$AB = 10$，$AD = 6$，$\therefore$ 由勾股定理，得 $BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$. $\because$ 在 $Rt\triangle ADC$ 中，$\tan\angle ACB=\frac{AD}{CD}$，$\tan\angle ACB = 1$，$\therefore CD = AD = 6$. $\therefore BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$
(2) $\because AE$ 是边 $BC$ 上的中线，$\therefore CE=\frac{1}{2}BC = 7$. $\therefore DE = CE - CD = 7 - 6 = 1$. $\because AD\perp BC$，$\therefore$ 由勾股定理，得 $AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$. $\therefore$ 在 $Rt\triangle ADE$ 中，$\sin\angle DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$

12. （2023·扬州改编）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠BCD=$\frac{1}{2}\angle A$，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点.
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若$\cos B=\frac{4}{5}$，⊙O的半径为3，求AC的长.

答案：
(1) 直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切 理由：连接 $OD$. $\because OC = OD$，$\therefore \angle OCD=\angle ODC$. $\therefore \angle BOD=\angle OCD+\angle ODC = 2\angle BCD$. $\therefore \angle BCD=\frac{1}{2}\angle BOD$. $\because \angle BCD=\frac{1}{2}\angle A$，$\therefore \angle BOD=\angle A$. $\because$ 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle A+\angle B = 90^{\circ}$. $\therefore \angle BOD+\angle B = 90^{\circ}$. $\therefore$ 在 $\triangle ODB$ 中，$\angle BDO = 90^{\circ}$. $\therefore OD\perp AB$. $\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore$ 直线 $AB$ 与 $\odot O$ 相切.
(2) $\because$ 在 $Rt\triangle ODB$ 中，$\cos B=\frac{BD}{OB}=\frac{4}{5}$，$\therefore$ 设 $BD = 4x(x ＞ 0)$，则 $OB = 5x$. $\therefore$ 由勾股定理，得 $OD=\sqrt{OB^{2}-BD^{2}} = 3x$. $\because OD = OC = 3$，$\therefore 3x = 3$，解得 $x = 1$. $\therefore OB = 5x = 5$. $\therefore BC = OB + OC = 8$. $\because$ 在 $Rt\triangle ACB$ 中，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$\therefore AB = 10$. $\therefore$ 由勾股定理，得 $AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}} = 6$